Linearizing around a fixed point

Reference: Prof Steve Brunton, Control Bootcamp
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비선형 시스템의 선형화

다음과 같은 비선형 미분방정식을 가정하자:
$\dot{x} = f(x)$

이 미분방정식을 선형화하는 과정을 살펴보자.

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1) 평형점 찾기 (Finding Equilibrium Points)

선형 시스템은 다음과 같이 표현된다:
$\dot{x} = Ax, \quad x\in \mathbb{R}^n$

평형점 $\bar{x}$는 다음 조건을 만족한다:
$f(\bar{x}) = 0$

즉, $\bar{x}$에서 시스템의 변화율이 0이 되는 점이다. 이 평형점 근처에서는 선형 시스템과 비선형 시스템의 차이가 매우 작아진다.

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2) 평형점에서의 선형화 (Linearization about Equilibrium)

예제: 2차원 시스템
다음과 같은 2차원 비선형 시스템을 생각해보자:
$\dot{x_1} = f_1(x_1, x_2) = x_1 x_2$
$\dot{x_2} = f_2(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$

자코비안 행렬 계산
자코비안 행렬은 각 함수의 편미분으로 구성된다:

각 편미분을 계산하면:

• $\frac{\partial f_1}{\partial x_1} = x_2$
• $\frac{\partial f_1}{\partial x_2} = x_1$
• $\frac{\partial f_2}{\partial x_1} = 2x_1$
• $\frac{\partial f_2}{\partial x_2} = 2x_2$

따라서 자코비안 행렬은:

평형점에서의 선형 행렬
평형점 $\bar{x} = [\bar{x_1}, \bar{x_2}]^T$에서 선형화하면:

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3) Taylor 전개를 통한 선형화

비선형 함수를 평형점 근처에서 Taylor 전개하면:
$\dot{x} = f(x) = f(\bar{x}) + \frac{Df}{Dx}\bigg|_{\bar{x}} \cdot (x-\bar{x}) + \frac{D^2f}{Dx^2}\bigg|_{\bar{x}} \cdot (x-\bar{x})^2 + \cdots$

평형점에서 $f(\bar{x}) = 0$이고, 고차항을 무시하면:
$\Delta\dot{x} = A\Delta x$

여기서 $\Delta x = x - \bar{x}$는 평형점으로부터의 편차이다.

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4) 실제 예제: 진자 (Pendulum)

진자의 운동방정식을 상태공간으로 표현하면:

운동방정식 ($g/L = 1$, 댐핑계수 $\delta$ 가정):
$\ddot{\theta} = -\sin\theta - \delta\dot{\theta}$

상태공간 형태로 표현하면:
$\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_2 \\-\sin(x_1) - \delta x_2\end{bmatrix}$

평형점 찾기

$f(x) = 0$인 조건에서:
$\bar{x}_1 = \begin{bmatrix}0 \\0\end{bmatrix} \text{(아래로 매달린 상태)}$
$\bar{x}_2 = \begin{bmatrix}\pi \\0\end{bmatrix} \text{(위로 세워진 상태)}$

선형화 결과

각 평형점에서의 선형 행렬:

아래로 매달린 상태 (안정한 평형점):
$A_{\text{down}} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & -\delta\end{bmatrix}$

위로 세워진 상태 (불안정한 평형점):
$A_{\text{up}} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & -\delta\end{bmatrix}$