표본분산 N-1 나누는 이유

표본 집단: 표본 공간 (Sample Space)에서 임의로 뽑은 n개의 표본들의 집합.

표본 평균 : $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}X_i$로 정의함.

표본 평균의 평균: $E(\bar{X})$를 의미하며, $E(\bar{X}) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}X_i) = \frac{1}{n}[E(X_1)+E(X_2)] + ... + E(X_N) = \frac{1}{n}[n * \mu] = \mu (모평균)$이 된다.

• 즉, 표본 평균($\bar{X}$)의 평균은 모집단의 평균인 모평균과 같다.

표본 분산 $S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(X_i-\bar{X})^2$으로 정의할 수 있다.

• 이때 $X_i -\bar{X}$는 편차 (Bias)라 불리고, 편차의 합은 0이된다. $\sum_{i=1}^N(X_i-\bar{X}) = 0$

• 또한 표본 분산의 기대값 $E(S^2)$은 모분산 $\sigma^2$이 나와야 한다.

• 따라서 $E(S^2) = \sigma^2$인 것이다.

표본 분산을 정의할 때 N-1로 나누는 이유?

증명)

• $S^2$를 정의하는 공식을 $\frac{1}{k}\sum_{i=1}^N(X_i-\bar{X})$라 하자. 여기서 K 값을 구하게 될 것이다.
• 모분산을 구하는 공식으로 식을 유도한다.
• $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 =\sigma^2$
• $\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 =n\sigma^2$
  = $\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X} + \bar{X}-\mu)^2$
  = $\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}) ^2+ 2(\bar{X}-\mu)\sum_{i=1}^n(X_i -\bar{X})+n(\bar{X}-\mu)^2$, $\sum_{i=1}^n(X_i -\bar{X}) = 0$이므로
  =$\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 + n(\bar{X}-\mu)^2 = n\sigma^2$ 가 된다.
• 기대값을 구해본다. (E를 씌운다.)
• $E(\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 + n(\bar{X}-\mu)^2) = n\sigma^2$
  = $E(\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2) + nE((\bar{X}-\mu)^2)$
• 이때 $S^2 = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$이므로 위의 식에 대입하게 되면
  = $kE(S^2)+nVar(\bar{X})$가 되고, $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$이므로
  = $kE(S^2) + \sigma^2 = n\sigma^2$
  = $kE(S^2) = (n-1)\sigma^2$
• 표본 분산의 기대값은 모분산 이므로
  $E(S^2) = \sigma^2$이고
  = $k\sigma^2 = (n-1)\sigma^2$이므로
  표본분산을 구할 땐 n-1로 나눠주게 되는 것이다.