[통계분석] 표본평균의 분산 유도 과정

유도 과정

1. X의 모집단에서 크기가 n인 표본을 추출한다.
   X1. X2. ... Xn

2. 표본평균(X̄)을 구한다.
   X̄ = (X1 + X2 + ... + Xn) / n

3. 표본평균의 분산(V)을 계산한다.
   V(X̄) = [V(X1) + V(X2) + ... + V(Xn)] / n

4. Xi들이 서로 독립적이므로 각 Xi의 분산은 같다.
   V(Xi) = σ^2 (모든 i에 대해 동일)

5. 독립적인 확률 변수(Xi)들의 합의 분산을 구한다.
   V(X̄) = [V(X1) + V(X2) + ... + V(Xn)] / n
   = [σ^2 + σ^2 + ... + σ^2] / n
   = n * (σ^2) / n
   = σ^2

6. 표본평균 Y의 분산도 유사하게 유도된다.

결론

따라서, 표본평균 X̄의 분산은 원래 확률 변수 X의 분산 σ^2와 표본 크기 n에 비례한다.
표본 크기가 커질수록 표본평균의 분산은 줄어들고, 표본 크기가 작을수록 증가한다.