문제1.
A대학교에서는 신기술을 도입했을 때 출석률 변화에 효과가 있는지 확인하고자 한다. 이를 위해 a반은 스마트폰 어플리케이션을 이용하여 강의실에 입장한 학생들만 출석으로 인정하고, b반은 기존의 호명으로 출석을 확인하여 a반과 b반의 출석률의 차이가 있는지 검정해보고자 한다.
한학기 동안 출석률을 조사한 결과가 아래의 표와 같을 때 95%의 신뢰구간을 구하고, a반과 b반의 출석률 차이가 없는지 가설 검정을 실시하라. 단 na는 30, b는 35이다.
| 주차 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a반 | 30 | 28 | 25 | 29 | 27 | 26 | 28 | 30 | 29 | 28 | 25 | 26 | 28 | 29 | 30 |
| b반 | 34 | 35 | 30 | 29 | 31 | 30 | 34 | 34 | 31 | 30 | 32 | 31 | 28 | 33 | 34 |
1. 95% 신뢰구간 계산
1) a반의 평균 출석률(Xa)과 표준오차(SEa) 계산
X̄a = (30 + 28 + 25 + 29 + 27 + 26 + 28 + 30 + 29 + 28 + 25 + 26 + 28 + 29 + 30) / 15 = 28.6
SEa = √[(Σ(출석률 - X̄a)²) / (n - 1)] = √[(Σ(출석률 - 28.6)²) / (15 - 1)] ≈ 1.99
2) b반의 평균 출석률(Xa)과 표준오차(SEa) 계산
X̄b = (34 + 35 + 30 + 29 + 31 + 30 + 34 + 34 + 31 + 30 + 32 + 31 + 28 + 33 + 34) / 15 = 32.2
SEb = √[(Σ(출석률 - X̄b)²) / (n - 1)] = √[(Σ(출석률 - 32.2)²) / (15 - 1)] ≈ 2.02
3) 평균과 표준오차를 사용하여 Z-값 계산
Z = (X̄a - X̄b) / √((SEa² / na) + (SEb² / nb))
Z = (28.6 - 32.2) / √((1.99² / 30) + (2.02² / 35)) ≈ -1.60
- Z-값을 찾기 위해 유의 수준(알파)을 결정 : 일반적으로 0.05(5%)
- 양측 검정을 위해 알파를 0.05로 나눔 : 1-(0.05/2) = 0.975
- 표준정규분포표에서 0.975에 가장 가까운 z값을 찾음 : 1.96
4) 95% 신뢰구간을 계산
95% 신뢰구간 = (X̄a - X̄b) ± Z √((SEa² / na) + (SEb² / nb))
= (28.6 - 32.2) ± 1.96 √((1.99² / 30) + (2.02² / 35))
≈ (-4.12, 0.92)
2. 가설 검정
귀무가설 (H0): a반과 b반의 출석률에 차이가 없다.
대립가설 (H1): a반과 b반의 출석률에 차이가 있다.
a반과 b반의 평균 차이의 95% 신뢰구간은 (-4.12, 0.92) 이다.
즉, a반과 b반의 출석률의 차이는 -4.12부터 0.92까지의 범위에 있을 것으로 추정된다.
따라서, 출석률의 차이가 0이라는 귀무가설을 기각할 수 없다.
결론적으로 a반과 b반의 출석률에 통계적으로 유의미한 차이가 없다.
