서론
우리는 정수에서 소수에 대해 이야기하곤합니다. 일반적인 ring에서도 소수 즉, prime이 있을까요? 물론 있습니다.
우리는 그 소수를 다음과 같이 정의합니다.
P(x) in F[x] is called 'prime' if p(x)|f(x)g(x) => p(x)|f(x) or p(x)|g(x)
곱해진 두 수를 나눌 때 둘 중 하나는 나누는 것을 소수라고 합니다.
그렇다면 우리가 현재 얘기하고 있는 다항식, 즉 polynomials에서도 소수가 있을까요? polynomial ring도 ring이니까 있지 않을까요? 당연히 있습니다. 그런데 우리는 그 소수의 이름을 Irreducible이라고 부르기로 하겠습니다.
Irreducible
먼저 Irreducible의 정의를 알아보고 Irreducible이면 prime이라는 것을 알아봅시다.
여기서 F[x]라고 하는 것은 모두 field를 의미하는 것입니다.
Let p(x) be in F[x] with p(x)>=1. p(x) is called Irreducible if its only divisors are units or associates.
p(x)를 어떤 다항식이 나눈다면 그 식은 unit이거나 associate여야 한다.
associate가 무엇일까요? associate의 정의는 다음과 같습니다.
In F[x], f(x) is called an associate of g(x) if there exist a unit s.t f(x)= g(x)
무슨 뜻이냐면, f(x)와 g(x)는 어떤 unit을 곱해서 왔다리갔다리 바꿀 수 있는 관계라는 의미입니다. 또한 F[x]가 field이니 0이 아닌 어떤 수를 곱해서 서로 바꿀 수 있는 관계라는 뜻이죠.
예를 들어 (2x+1) = 2(x+1/2)가 있겠습니다. 2x+1은 x+1/2의 associate라고 할 수 있죠. 하나 더 해보면 Z5에서 x+3과 4x+2가 서로 associate관계입니다. 4*(x+3) = 4x+12 = 4x+2 in Z5이기 때문이죠.
어떤 수를 곱해서 서로 계속 모습을 바꿀 수 있습니다.
Thm4.11
f(x) is nonzero. f(x) is reducible <=> f(x) = g(x)h(x) for some g(x),h(x)
with 0<deg(g(x)),deg(h(x))<deg(f(x))
정리가 나왔습니다. 이 정리는 f(x)가 reducible 즉, irreducible이 아니라면 자신보다 낮은 차수의 constant가 아닌 두 polynomial의 곱으로 표현된다는 겁니다.
증명은 간단한데요. 스케치만 해봅시다.
f(x) 가 irreducible일 때는 모든 divisior가 unit이거나 associate네요.
이를 부정하면 f(x)가 reducible일 때 어떤 divisor는 unit도 아니고 associate도 아닙니다. 그러니까 이런 애가 존재한다는 것이죠. 그럴 때 위에 적은 조건이 잘 만족하는 지를 보이면 됩니다.
(=>)
생각해봅시다. 만약 g(x)가 associate이면 앞에 상수만 곱해서 f(x)로 만들 수 있으니 degree는 같을 것이고 자연스럽게 h(x)는 constant입니다.
그럼 associate가 아니라면? degree는 f(x)와 같을 수 없습니다. 심지어 divisor이기 때문에 degree가 f(x)보다 작게 되죠. 그러면? deg(f(x)) = deg(g(x))+deg(h(x))이므로 h(x)는 자연스럽게 0보다 큰 degree를 갖게 됩니다.
심지어 unit도 아니라면? 같은 맥락으로 deg(g(x))>0, deg(h(x))<deg(f(x))입니다.
그러므로 0<deg(g(x)),deg(h(x))<deg(f(x))를 만족하는 f(x) = g(x)h(x)로 쓸 수가 있겠네요.
(<=)
생략할건데요 위와 비슷한 방식으로 g(x),h(x)의 deg가 0도 deg(f(x))와 같지도 않음을 보이면 됩니다.
thm4.12
Let p(x) be in F[x] with nonconstant polynomial(deg>=1). Then the following are equivalent
(1) p(x) is irreducible
(2) p(x)|f(x)g(x) => p(x)|f(x) or p(x)|g(x)(p(x)는 prime이라는 뜻 ㅎ)
(3) if p(x) = r(x)s(x) for some r(x),s(x) ,then r(x) or s(x) has degree 0.
증명)
(1) => (2)
자 p(x)가 irreducible이 참이고 p(x)가 f(x)g(x)를 나눈다고 해봅시다. 이 때 p(x)|f(x) or p(x)|g(x)가 잘 성립하는지 봅시다.
Let d(x) = gcd(p(x),f(x)) . Then d(x)|p(x). p(x)가 irreducible이므로 d(x)는 unit이거나 associate. 심지어 gcd이므로 monic.
(1) d(x) = 1(monic이므로)
고러면 Thm4.10에 의해서 (p(x),f(x)) = 1이므로 p(x)|g(x).(둘 중 하나와 서로소이면 나머지 하나는 나누자는 정리)
(2)d(x) is associate of p(x)
d(x)는 p(x)와 f(x)의 gcd이므로 f(x)를 나눈다. d(x)|f(x). 그런데 d(x)는 associate of p(x)이므로 p(x) = cd(x) => d(x) = c^(-1)p(x)이다. (앞에서 g(x)|f(x)이면 c*g(x)|f(x)라고 했으니 (앞 쪽에 나오는 정리)) p(x)|f(x).
(x+2)|(2x+4)(x^2+1) => (x+2)|(2x+4) or (x+2)|(x^2+1)
(2) => (3)
이번 증명은 (2)이 만족하면 p(x)를 두 polynomial의 곱으로 표현했을 때 하나는 unit이라는 겁니다. 되게 직접적으로 (3)=>(1)도 보이는거나 마찬가지네요.
들어가봅시다.
p(x) = r(x)s(x)로 쓸 수 있다고 하자. Then, p(x)|p(x)이므로 p(x)|r(x) or p(x)|s(x)이다.
즉, deg(p(x))<=deg(r(x)) or deg(p(x))<=deg(s(x)). 그런데 p(x) => r(x)s(x)이므로 deg(p(x)) = deg(r(x))+(deg(s(x))(field면 integral domain, integral domain이면 이전과 같은 식 성립)
부등식의 deg(p(x)) 자리에 등식을 대입하면 deg(s(x)) = 0 or deg(r(x)) = 0. 즉 둘 중 하나는 constant.
(3) => (1)
constant면 unit이겠죠? 그러면 나머지 곱한 거 하나는 associate겠죠? 증명 끝. ㅋㅋㅋ 적당히 해보세용.
cor4.13
p(x)|a1(x) a2(x) ... an(x) => p(x)|ai(x) for some i
곱해져 있는거 나누면 하나는 나눠야겠다~ 요런 말씀. 오른쪽을 a1(x)(...) 이런 식으로 분해하면 증명될듯요. 혼자 해보시도록 ㅎ
Thm 4.14 Unique factorization
아니 factorization이 뭐여? -> 우리가 알고 있는 인수분해 얘기하는겁니다.
factor가 인수거든요. 그런데 얘가 unique하다네요? 오모오모 그런데 증명이 앞에서 prime factorization 한 것과 굉장히 유사합니다. 그냥 최소 원소를 deg가 최소인 수로 뽑은 것에 불과합니다.
최소원소를 최소 deg로 바꾸면 증명이 똑같습니다. 사실 자세히 적어볼까 하고 증명을 해놓았는데 스케치만 적어보겠습니다.
일단 정의(정의의 unique부분이 조금 다릅니다. 그 설명은 일단 정의를 보시고 볼 수 있도록 밑에 적어둘게요.)
Every nonconstant polynomial f(x) in F[x] is a product of irreducible polynomials in F[x]. This factorization is unique in the following sense;
if f(x) = p1(x)p2(x)...pr(x) = q1(x)q2(x)...qn(x) with each pi(x) and qi(x) irreducible, then r =s.
모든 차수가 1차 이상인 다항식은 인수분해갸 되는데요~ 이 factorization은 unique라고 합니다. 엥 왜 unique? 이런 관점에서 unique인데 x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) = 1/2(2x-2)(x^2+x+1) 여기서 두 개의 인수분해가 같다고 하는 관점입니다. 두 개는 결국 순서대로 하나씩 대응시키면 서로 associate라는 것이죠. 두 factorization의 순서를 잘 놓아서 앞에서부터 하나씩 대응시켰을 때 각각이 서로 associate이고 결국 그 수가 같으면 두 factorization을 같다고 보겠다고 합니다.
증명 sketch)
1. existence
S = (g(x)|deg(g(x))>=1, g(x) is not a product of irreducible}의 집합에서 deg가 최소인 원소 뽑기(p(x)). 걔는 일단 irreducible은 아님. irreducible은 irreducible의 product로 나타남. 그러므로 reducible이고 앞서 Thm4.11처럼 두 polynomial로 나뉨. 각각은 p(x)보다 더 차수가 낮으므로 p(x)가 deg의 최소인 S에는 안들어감. 즉, 얘네는 irreducible의 곱으로 나타남. 두 개를 곱한게 p(x)이므로 p(x)도 irreducible의 곱으로 표현
2.uniqueness
일단 (x)생략
p1p2p3...pr = q1q2...qn.p1|f(x) => p1|q1q2...qn => p1|q1(q2q3...qn) => p1이 irreducible이므로 Thm4.13에 의해 q의 순서를 잘 놓을 경우 p1|q1. p1 = c*q1. 이런 식으로 각각을 모두 associate로 대응가능. 두 개가 같으면 각각을 다 대응 가능한데 이걸 같다고 보면 arbitary하게 증명했으므로 모두 같음.
polynomial ring이 우리가 알고 있던 형태를 갖추어나가고 있네요.
다음 글에는 나머지정리와 인수정리가 나올 예정입니다!
