서론
Ring에는 무한히 많은 다항식, 즉 polynomial들이 있습니다. 이 친구들을 어떻게 우리는 인수분해, 즉 factorization할 수 있을까요?
고등학교 때 알던 내용을 가져옵시다! 이름하야 나머지정리와 인수정리!(Remainder thm, Factor thm)
Polynomial functions
먼저 우리는 지금까지 polynomial들을 다루었는데 이 친구들을 함수, 즉 function으로 여겨봅시다. 그러면 우리가 f(x)라고 여기던 polynomial들이 f:R->R, 즉 ring의 원소를 넣어서 ring의 원소를 return하는 함수가 됩니다.(ring은 쉽게 말해 실수, 정수 이런거 생각하시면 됩니다.)
2x+1 이렇게만 쓰면 다항식이고, y = 2x+1 = f(x) 이렇게 쓰면 함수겠죠. 이 때 식에 3을 넣어봅시다. 그러면 7을 return하죠? 이렇게 실수에 실수를 return 하는 함수가 됩니다.
root
r in R is called root if f(r) = 0
만약 위의 polynomial function의 값이 0이 되게 하는 r은 root라고 부르기로 합시다. 우리가 지금까지 잘 써오던 '근' 혹은 '해'입니다.
Thm4.15 Remainder theorem
이제 우리가 고등학교 1학년 때 배운 나머지 정리를 적용해봅시다.
앞에서 정의한 division algorithm을 사용할건데 여기서 말하는 ring은 모두 Field입니다!
Let f(x),a be in F[x]. Then the remainder when f(x) is divided by x-a is f(a).
먼저 직관으로 이해합시다. f(x)를 (x-a)로 나누면 나머지 r(x)가 남을텐데요. r(x)의 degree(차수)는 x-a의 degree보다 작거나 r(x) = 0이기 때문에 r(x)는 constant입니다. 식을 다시 적어보면 f(x) = (x-a)g(x) + r(x)일 것이고. 양변에 a를 대입하면 f(a) = r(a). 깔끔합니다.
증명도 그냥 이 말을 되풀이 한 것에 불과하니 생략하겠습니다.
Thm4.16 Factor thm
f(a)=0 <=> (x-a)|f(x)
앞서 본 Thm4.15에서 r(x) = 0인 경우입니다. r(x)가 0이면 자연스럽게 f(x) = (x-a)g(x)꼴로 써진다는 의미가 되겠습니다. 너무 쉽네요.
Cor 4.17 n차 방정식의 해는 많아봤자 n개다
Let deg(f(x)) = n. Then f(x) has at most n roots in F.
다들 살면서 한 번쯤 들어봤고 무언가 당연하다고 받아들여온 정리입니다. n차 방정식의 해는 최대 n개. 한 번 확인해볼까요?
proof sketch) f(x)의 root가 k개가 있다고 가정해봅시다. 그러면 4.16 factor thm에 의해 (x-ai)|f(x) (i=1,2,...,k)가 성립합니다. f(x)의 해가 2,3,4 일 때 x-2도 x-3도 x-4도 f(x)를 나눈다는 의미입니다. 그러면 f(x) = (x-a1)(x-a2)...(x-ak)g(x)로 쓸 수가 있는데 f(x)의 degree는 n이고 (x-a1)....(x-ak)의 degree는 k입니다. 즉, g(x)의 degree는 n-k겠군요.(field이므로) 좌변과 우변의 degree는 같아야하기 때문에 k는 커봤자 n일 수 밖에 없겠습니다.
결론 : n>=k, 근은 많아봤자 n개 존재한다.
cor 4.18 2차 이상의 다항식이 irreducible이면 근이 없다.
자, 이제 다시 대학교의 수준으로 돌아옵시다.
다음으로 볼 정리는... 다음과 같습니다.
Let deg(f(x))>=2, Then f(x) is irreducible => f(x) has no roots in F.
irreducible이란 f(x)의 약수가 unit과 associate 밖에 없다는 뜻입니다. associate는 적절히 unit을 곱해서 f(x)로 바꿀 수 있는 수를 의미합니다.
proof sketch)
대우를 증명합시다. f(x)가 root를 가지고 있다면 f(x)는 reducible이다.
f(x)가 root를 가지고 있다는 것은 f(x) = (x-a)g(x) 꼴로 써짐을 의미합니다. 즉 (x-a)는 unit이 아니고 g(x)의 degree도 f(x)보다 작을 수 밖에 없기 때문에 associate도 아닙니다.(associate라면 degree가 같습니다.) 즉, irreducible은 모든 divisor가 unit이거나 associate여야 하는데 그들이 아닌 (x-a)와 g(x)가 존재하므로 reducible이라고 할 수 있겠습니다.
cor 4.19 2차하고 3차 다항식은 근이 없으면 irreducible이다.
Suppose deg(f(x)) = 2 or 3. Then f(x) is irreducible <=> f(x) has no roots in F.
cor4.18과 다르게 여기선 양방향(if and only if)입니다. 2차 3차일 때는 근이 없으면 irreducible도 성립합니다.
proof sketch)
(=>) cor4.18에서 증명했습니다.
(<=)
자, f(x)에 근이 없다고 가정합시다. 그렇다면 f(x) = g(x)h(x) 꼴로 쓸 수 있는데 g(x)와 h(x)의 degree는 1이 아닙니다.(근이 아니므로 1차가 될 수 없음.) 이 때 f(x)가 irreducible임을 보이려면 g(x)나 h(x)가 unit인 것을 보이면 됩니다. Field이므로 degree가 0임을 보이는 것과 동치입니다.
자 그러면 가능한 모든 경우를 고려해봅시다. (deg(g(x)),deg(h(x)))의 가능한 모든 경우를 나열해봅시다.
1. 2차 : (2,0) (1,1) (0,2)
2. 3차 : (3,0) (2,1) (1,2) (0,3)
2차 polynomial일 경우 (1,1) 즉, g(x)와 h(x)의 degree가 1인 경우를 제외하고는 g(x)나 h(x) 둘 중 하나가 unit입니다. 가정에 의해서 g(x)와 h(x)의 degree는 1이 아니므로 2차 일 때 근이 없으면 항상 irreducible입니다.
3차 polynomial의 경우 (2,1), (1,2)의 경우에는 f(x)가 g(x)나 h(x)가 unit이 아닙니다. 그런데 이 때도 두 개 중 degree가 1인 경우는 없다고 가정했으므로 (2,1),(1,2)의 두 경우 모두 나올 수가 없습니다. 우리는 근이 없다고 가정했는데 만약 나온다면 근이 있게 되는 것이기 때문입니다. 즉, 나머지는 (3,0),(0,3)의 경우만 있기 때문에 f(x)가 irreducible입니다.
즉, 2,3차 polynomial에서 근이 없으면 항상 f(x)가 irreducible입니다.
내용 정리
- deg(f(x)) = 1 / always irreducible
- deg(f(x)) = 2 or 3 / irreducible <=> no roots
- deg(f(x)) >= 4 / irreducible => no roots
ex) f(x) = (x^2+1)^2 has no roots but is reducible.
2.을 좀 말로 풀어보면 2,3차는 근이 없으면 상수가 아닌 polynomial의 곱으로 표현될 수 없습니다.
고등학교 내용에 살짝 첨가하니 맛있는 대학수학 내용이 되고 있습니다. 앞으로 어떤 결과들이 또 도출될지 궁금하네요 ㅎ
