5.3 The Structure of F[x]/p(x) when p(x) is irreducible

서론

앞서 본 ring에서 $Z_p$ 즉, prime p로 나눈 나머지가 같은 class의 set은 field였습니다. 한국말로 익숙하게는 '체'라고 부릅니다. 군환체라고 익히 부르는 것들 중 하나입니다.

The Structure of F[x]/p(x) when p(x) is irreducible

Thm 5.10

F: field, p(x)∈F[x] with deg p(x)≥1
(1) p(x) is irreducible
(2) F[x]/p(x) is a field
(3) F[x]]/p(x) is an integral domain

F[x]/p(x)도 우리가 알고 있던 $Z_n$과 비슷한 성질을 가집니다. field이면서 integral domain입니다. ring에서는 field이면 항상 integral domain이기도 했습니다.

pf) (1) => (2)
우리는 f(x)∈F[x]/p(x)가 있다고 가정합시다. 이때 f(x)는 0이 아닙니다. 0이 아니라는 것은? f(x)≢0 mod (p(x))라는 것이니 f(x)는 p(x)로 나누어지지 않습니다. 이 때 d(x) = gcd(f(x),p(x))라고 합시다. 그러면 당연하게도 d(x)|p(x)입니다. 그런데 p(x)는 irreducible이었지요? 그렇다는 것은 p(x)를 나누는 것이 unit과 associate밖에는 없습니다.(F[x]에서!)

고로 d(x)는 unit이거나 associate라는 의미입니다. 그런데 d(x)가 associate일 수는 없습니다. d(x)는 f(x)도 나누는데 만약 associate라면 d(x) = (unit)*p(x) 꼴이고 즉, p(x)|d(x)입니다. 그런데 d(x)|f(x)이므로 p(x)|f(x)이고 이는 모순입니다. 즉 d(x)는 unit in F[x]입니다.
이 때 gcd는 monic이여야 하므로 d(x) = 1입니다.

d(x)가 1이라면 there exist u(x),v(x) ∈F[x] s.t f(x)u(x)+g(x)v(x) = 1.
이를 F[x]/p(x)의 관점에서 보면 [f(x)][u(x)] = 1입니다. 즉, 0이 아닌 f(x)는 unit입니다 in F[x]/p(x).

즉, F[x]/p(x)는 field입니다.

(2) => (3)
Thm3.8과 완전히 같습니다. f(x)g(x) = 0 in F[x]/p(x)라고 합시다. f(x)가 0이 아니라면 unit이고 inverse $f(x)^{-1}$이 존재해서 양변에 곱할 수 있습니다. 즉, g(x) = 0입니다. 비슷하게 g(x)가 0이 아니면 f(x)가 0입니다.

(3)=>(1)
prime이면 irreducible임을 앞선 4장에서 증명하였습니다. 우리는 p(x)가 prime임을 보이겠습니다. p(x)가 prime 이라는 것은 p(x)|f(x)g(x)일 때 p(x)|f(x) or p(x)|g(x)라는 것을 의미합니다.

F[x]/p(x)를 integral domain이라고 합시다. 그러면 p(x)|f(x)g(x)라는 것은 f(x)g(x) = 0이라는 것을 의미합니다. 이 때 f(x) = 0이라면(integral domain이므로) p(x)|f(x)이고 g(x) = 0이라면 p(x)|g(x)입니다. 즉, p(x)|f(x)g(x) => p(x)|f(x) of p(x)|g(x)입니다. 그러므로 p(x)는 prime 즉, irreducible입니다.

example

F = ℝ. p(x) = $x^2+1$. K = $ℝ/(x^2+1)$.
그렇다면 ℝ은 K의 subfield입니다. 부분집합인 field라는 것입니다.
그리고 [x]는 p(x)의 root입니다. p([x]) = 0이라는 것입니다.
p([x]) = $[x]^2+1$ = $[x]*[x]+[1]$ = $[x^2+1]$ = [p(x)] =0 in K.

∴ K는 F를 포함하는 field이고 p(x)의 root도 포함합니다.

복소수를 정의해보자.

우리는 복소수 ℂ를 $ℝ[x]/x^2+1$으로 정의할 수 있습니다.
어떻게 정의할거냐면 다음과 같이.
$1_ℂ ⇔ 1_ℝ$
$i ⇔ [x]$

그러면 ring isomorphism이 있게 된다.
$[a+bx] ⇒ a+bi$가 된다.

[x]는 위에서 알아보았듯 $x^2+1$의 근이다. 이 복소수의 세계에서는 i가 $x^2+1$의 근이고 그 계수가 다시 실수로 붙기 때문에 가능한 것이다.
우리는 드디어 복소수가 어떻게 정의될 수 있는지 이해할 수 있다. 모든 이차방정식의 근이 존재하게 하기 위해 $x^2+1$의 근을 i로 정의하여 수체계를 확장시켰다. 이는 모든 다항식을 $x^2+1$로 나눈 나머지의 세상에서 [x]를 i로 간주한 것과 같다는 사실을 생각해볼 수 있다.

def of extension

A field K is called an extension of a field F if F is a subfield of K

Thm5.11

F: field, deg p(x) ≥ 1. Let p(x) be irreducible. Then F[x]/p(x) is an extension field of F containing a root of p(x).

proof sketch) F[x]/p(x)에서 p(x)의 근은 [x]이다. 여기서 p(x)는 F[x]의 polynomial이다. 이 때 p([x]) = [p(x)]가 됨을 쉽게 확인할 수 있다. [p(x)]는 F[x]/p(x)에서 0이므로 p(x)의 근을F[x]/p(x)에서 [x]로 찾을 수가 있다.
비록 p(x)가 irreducible일지라도.

Cor 5.12

Let f(x)∈F[x] with deg f(x)≥1
Then there exist extension field K of F containing a root of f(x)

proof sketch) K는 F[x]가 아닌 F의 extension이다. F[x]도 F의 extension이라고 할 수 있다.
하여튼 f(x)의 root는 p(x)|f(x)인 irreducible한 p(x)를 뽑으면 알 수가 있다. K = F[x]/p(x)라고 정의하자. 그러면 p(x)의 근이 K에 존재한다. 이는 f(x)의 근이 된다. 왜냐하면 p([x]) = 0 in K이므로.

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조금 힘들다 조금은 쉬어가기도 합시다.