서론

congruence ring을 일반화할 방법이 있을까요? 한 번 관찰해봅시다.

$Z_n$을 보면 어떤 원소가 0이 되려면 n의 배수 꼴이여야 합니다.
이때 I = {0,±n,±2n...}라고 해봅시다. 0이 되는 원소의 집합입니다.

또한 $F[x]/p(x)$를 봅시다. 어떤 원소가 0이려면 p(x)를 factor로 가지고 있어야 합니다.
이 때도 $I = {K(x)p(x)|k(x)∈p(x)}$라고 해봅시다. 0인 원소의 집합입니다.

이 둘을 관찰해보니 I가 공통적으로 두 가지 특성을 가집니다.
1. I가 subring이다.
2. I에서 하나의 원소 a, R에서 하나의 원소 r을 가져오면 ar∈I가 성립합니다. 각각 가져와서 곱하면 I에 다시 들어가게 됩니다. 0의 성질과 비슷해보이네요.

이를 바탕으로 ideal을 정의하며 I가 정말 congruence를 이해함에 있어 key가 될 지 확인해봅시다.

6.1 Ideals and congruence

definition of ideal

R : ring, I⊆R. I is called an ideal of R if
1 I is a subring of R
2 a∈I and r∈R => ar∈I

만약 I의 원소를 0으로 간주하면 2번은 손쉽게 생각해볼 수 있는 성질입니다. 0으로 간주되는 원소를 곱했으니 다시 0이 되는 것입니다.

example

1) R : any ring, I = {0} or I = R

zero ring과 ring 그 자체는 자연스럽게 ideal입니다.

2) 처음에 본 예시와 비슷하게
R = ℤ, 정수 ring에서 ideal I는 {kn∈ℤ|k∈ℤ}와 같이 잡을 수 있습니다. $Z_n$과 같습니다.

3) R = {f:ℝ→ℝ}. I = {f∈R|f(2) = 0}
2를 넣었을 때 0이 되는 함수의 집합도 ideal입니다. 어떤 함수 g(x)를 R에서 f(x)를 I에서 가져오면 f(x)g(x)는 2를 대입하면 f(2)g(2)이고 f(2)가 0이므로 f(x)g(x)가 I에 들어가게 되기 때문입니다.

non-example

1) R = ℚ, I = ℤ
ℤ는 ℚ의 subring이지만 ideal의 두 번째 조건을 만족하지 못합니다.
$1\over2$을 ℚ에서 1을 ℤ에서 가져옵시다. 그런데 $1\over2$와 1의 곱은 $1\over2$인데 이는 ℤ에 들어가지 않습니다. 즉, ℤ는 ideal이라고 할 수 없습니다.

Thm6.1 condition of ideal

R: ring. Let I⊆R be nonempty.
I is ideal ⇔ (1) (a,b∈I ⇒ a-b∈I) and (2)(a∈I and r∈R ⇒ ar∈I and ra∈I)

ideal I는 subring입니다. 그러므로 원래는 subring의 조건을 확인해주어야 하는데요. subring의 조건은 앞서 배웠듯 closure under substitution과 closure under multiple이 있습니다.
그런데 위의 명제가 시사하는 바는 subring인 것을 확인하지 않고도 위의 두 조건만 확인해주면 자연스럽게 subring이 되면서 ideal이 된다는 것입니다.

확인해봅시다.

proof sketch)
(⟹) by definition
(⟸) (2)조건이 원래 ideal의 조건에 있기 때문에, (1),(2)이 성립하면 subring인지만 보이면 됩니다.
그 중에서도 closure under multiple만 보이면 되겠군요. I는 subset of R입니다. 그러므로 r∈R 부분을 r∈I로 바꿔도 잘 성립합니다. 즉, I에서 어떤 두 원소를 뽑더라도 그 곱은 I에 들어있습니다. 즉, closure under multiple입니다.

Generator of ideal

우리는 ideal의 정의가 subring이면서 I에서 한 원소 R에서 한 원소를 뽑아 곱한 것이 다시 I에 들어있는 것임을 알고 있습니다. 이 때 R을 comutative ring with identity라고 가정합시다.(편의성을 위해...ar,ra 중 하나만 속하는 것을 보여도 됨.) 그렇다면 좋은 성질이 성립함을 생각해볼 수 있습니다. 예를 들어 R에서 한 원소 a를 뽑아봅시다. 그리고 I = {ac|c∈R}이라고 정의해봅시다. 그렇다면 I는 a의 모든 multiple의 집합이라고 할 수 있는데 이 I는 당연하게도 ideal입니다.
어찌보면 당연하죠 정수에서 I를 3의 배수를 모아놓은 집합이라면 아무리 정수의 어떤 수와 I의 원소를 곱한다고 할지라도 그 수는 다시 3의 배수가 될테니까요. 한 번 Thm6.2에서 이 이야기를 다시 해봅시다.

Thm 6.2 ideal generated by c

Let R be a commutative ring with identity, c∈R, and I the set of all muliples of c in R, that is, I = {rc|r∈R}. Then I is and ideal.

proof sketch) 우리가 증명해야할 것은 어떤 c의 multiple을 모아놓은 set이 ideal의 성질을 만족한다는 것입니다.
Thm6.1을 참고하며 closure under subtraction부터 확인해보죠.

(1)closure under subtraction

$r_1c$와 $r_2c$는 모두 I에 속해있습니다. c의 mutiple이기 때문입니다. 이 때 두 수의 차는 $(r_1-r_2)c$입니다. 이는 다시 $r_1-r_2$라는 수에 c를 곱한 꼴이므로 I에 속합니다. closure under subtraction을 보였습니다.

(2)def of ideal

R에서 a라는 수 하나를 뽑고 I에서 rc라는 수 하나를 뽑읍시다. 이때 a(rc) = (ar)c입니다.(associativity) 즉, R에서 하나 I에서 하나 뽑아 곱하면 I에 들어 있습니다. Ideal의 정의를 잘 만족하는군요.

위의 두 특성을 확인했으니 Thm6.1에 따라 I = {rc|r∈R}는 Ideal이라고 할 수 있겠습니다.
증명 끝.

우리는 위의 정리에서 좋은 사실을 알 수 있습니다. 어떤 한 숫자를 정해서 모든 multiple을 모아놓으면 ideal이 된다는 것인데요, 이렇게 ideal이 만들어진다는 것은 중요한 사실이기에 이렇게 만들어진 ideal을 pricipal ideal이라고 부르겠습니다. 또한 c의 mutiple로 만들어졌다면 I = (c)라고 표현하고 c를 principal generator라고 부르겠습니다.

example

우리는 c를 뽑아 ideal을 만들 수 있다는 예시를 위의 3의 배수의 집합 예시를 통해 보았습니다.
그러니 이번엔 모든 ideal이 principal ideal은 아님을 한 번 알아봅시다. 즉, 어떤 숫자를 뽑아서 multiple한 것을 모아놓은 set들로는 모든 ideal을 표현할 수 없다는 뜻입니다.

우리는 ℤ[x]에서 어떤 set I를 생각해볼건데 이 I는 상수항이 even 즉, 짝수인 정수 다항식들의 집합입니다.
예를 들어, $2x+2$, $x^2+x+12$ 등이 있겠네요. 이 set은 ideal입니다. 왜냐면 먼저 상수항이 짝수인 다항식들은 서로 빼도 상수항이 짝수입니다.(closure under subtraction) 또한 어떤 다항식 p(x)∈ℤ[x]도 상수항이 짝수인 다항식 q(x)∈I와 곱해지면 그 상수항이 짝수가 되어 p(x)q(x)∈I가 됩니다.(Thm6.1(2)) 즉, Thm6.1을 정확히 만족하기 때문에 우리는 이 I가 ideal임을 알 수 있습니다.

그렇다면 이 I가 principle ideal일까요? 결론은 아니다 입니다. 한 번 principle ideal이라고 가정하고 모순을 이끌어내봅시다.

자 I가 어떤 정수다항식 p(x)∈ℤ[x]의 모든 multiple을 모아놓은 set이라고 해봅시다.
I = {p(x)q(x)|q(x)∈ℤ[x]}이라는 뜻입니다.

I는 2를 포함

그렇다면 I는 2를 포함해야 합니다. 이 때 정수다항식들은 서로 곱해도 그 degree가 낮아지지 않으니 p(x)는 +2 or -2임을 알 수 있습니다.(p(x)는 4,8,-4 이런 것일 수는 없습니다. 아무리 곱해도 2는 안됩니다.)

I

오 그런데 I에는 x도 포함됩니다. x의 constant term은 0으로 even이기 때문입니다. 그런데 ±2에 어떤 q(x)를 곱해서 I를 만들 수 있을까요? q(x) = ax+b라고 하면 ±2q(x) = ±2ax±2b = x. 즉 ±2a = 1입니다. 이러한 ±2를 1로 만드는 수는 정수에서 존재하지 않습니다. 즉, 모순입니다. 어떤 p(x)의 multiple로는 우리가 가정한 I와 같을 수 없군요.

그러면 다른 방식으로 generate되는 ideal도 필요할 것 같습니다. 그 방식을 Thm6.3에서 확인해봅시다.

Thm6.3 ideal generated by $c_1,c_2...c_n$

R : commutative ring with identity. $c_1,c_2...,c_n$∈R
I = {$r_1c_1+r_2c_2+...+r_nc_n$|$r_1,r_2,...r_n∈R$} is an ideal in R

한 ring의 원소인 c만을 가지고 ideal을 만들 수도 있엇는데 사실은 어떤 finite 개수를 뽑아서 그에 따른 linear combination으로도 ideal을 구성할 수 있다는 것입니다.
증명은 pass합시다.

$c_1,c_2...c_n$을 generator라고 부르고 이로 generated 된 ideal을 $(c_1,c_2,...,c_n)$으로 씁시다.

example

1

I = (3)
3으로 generate된 ideal입니다.

2

I = (4,6)
4와 6의 linear combination으로 된 ideal입니다.
I = {$4r_1$+$6r_2$|$r_1,r_2∈R$}

3

우리가 위에서 살펴본 constant term이 even인 polynomial인 ideal은 Thm6.3의 방식과 같이 I = (x,2)로 표할 수 있습니다.

I = {polynomials containing even constant term}

I = (x,2)임을 증명해봅시다.

(⊇)

x∈I,2∈2이고 I가 ideal이라는 상황을 기억합시다. R인 ℤ[x]에서 f(x)와 g(x)를 뽑아 각각에 곱한 f(x)x와 g(x)2가 I에 들어있습니다. 그런데 I는 ring이므로 closure under addtion이기 때문에 f(x)x+g(x)2가 I에 들어있습니다. 이는 (x,2)의 원소이므로 I⊇(x,2)라고 할 수 있습니다.

(⊆)

Let $f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+2*a_0$∈I.
f(x) = $(a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+...a_n-1)*x+a_0*2$

즉, f(x)는 (x,2) 속한다.(g(x)x+k(x)2의 꼴로 나타낼 수 있으므로.)

그러므로 I = (x,2)입니다.

Congruence modulo I

def of congruent modulo I

Let a,b∈R. a and b said to be congruent modulo I if a-b∈I. write a≡b(mod I)

두 개를 뺀 값이 I에 들어있다면 그 둘을 congruent라고 하겠습니다~. 지금까지 우리가 알고 있던 congruent를 확장시킨 것입니다! 더 알아봅시다.

example

R = ℤ, I = (n)라고 합시다. I = {±n,±2n,±3n...}입니다. 그렇다면 a≡b(mod I) <=> a≡b(mod n)과 같습니다.

Thm 6.4 equivalence relation

R : ring, I⊆R : ideal.
(1) (reflexive) a≡a (mod I)
(2) (symmetric) a≡b (mod I) ⇔ b≡a(mod I)
(3) (transitive) a≡b (mod I) and b≡c(mod I) ⇒ a≡c(mod I)

일전에 위의 세 특성이 성립하면 equivalence relation이라고 이야기했습니다. equivalence relation은 집합을 partition할 수 있습니다. 즉, 겹치지 않게, 빠지지않게 나눌 수 있다는 이야기입니다.
일례로 mod n은 모든 정수를 0,1,2...n-1이라는 수들로 겹치지 않게, 빠지지 않게 분류할 수 있었습니다. equivalence relation이 성립한다는 것은 I에서도 이러한 이야기를 할 수 있다는 것입니다.

Let's prove)
(1) reflexive, a-a = 0 ∈ I.
I는 ring이기 때문에 항상 0을 포함합니다!

(2) symmetric, a-b∈I ⇒ -(b-a)∈I ⇒ b-a∈ I.
I는 ring이기 때문에 -(b-a) + x = 0의 solution인 b-a를 포함합니다!

(3) transitive, a-b,b-c∈I ⇒ (a-b)+(b-c)∈I ⇒ a-c∈I
I는 ring이기 때문에 closure under addition입니다!

Thm6.5

Suppose a≡b(mod I) and c≡d(mod I)
(1) a+c ≡ b+d (mod I)
(2) ac ≡ bd (mod I)

우리가 앞서 알고 있던 conguence의 성질과 동일합니다.

Let's prove)
(1) (a+c)-(b+d) = (a-b)+(c-d) ∈ I (∵a-b∈I and c-d∈I, I is closure under addtion)
위는 너무 당연하죠.

아래 식은 같은 bc를 더하고 빼줍시다. 그러면 (a-b), (c-d) 꼴을 만들어낼 수 있습니다.
(2) ac-bd = ac-bc+bc-bd = (a-b)c+b(c-d)∈I(∵(a-b∈I and c∈R => c(a-b)∈I) and (c-d∈I and b∈R => b(c-d)∈I), def of ideal)

a-b∈I and c∈R part를 봅시다. I에서 하나 R에서 하나 뽑으면 그 곱은 I에 있어야 합니다.

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내용이 기네요 6.1(2)에서 봅시다.