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📌 공부할 때 참고한 영상은 나동빈님의 이코테 2021 강의 입니다.

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이제부터 코딩테스트에서 출제되는 알고리즘들의 이론에 대한 설명과 그에 상응하는 문제들을 풀어보자.

1. 그리디 알고리즘

$Greedy, 탐욕적인$

• ⭐ 현재 상황에서 지금 당장 좋은 것만 고르는 알고리즘

• 일반적인 그리디 알고리즘은 문제를 풀기위한 최소한의 아이디어를 적절히 떠올릴 수 있는 능력을 요구한다.
  단순히 가장 좋아 보이는 것을 반복적으로 선택을 하더라도 최적의 해를 보장할 수 있는지를 검토하는 정당성 분석이 중요하다.
  즉 지금 상황에서 가장 좋아보이는 것만 골랐을 때, 문제에서 요구하는 최적의 해를 구할 수 있는지 검토하는 과정이 필요하다.

• 아래 트리 구조의 그래프를 보자.
  
  이와 같은 트리에서 루트 노드부터 거쳐 가는 노드 값의 합을 최대로 만들고 싶다면, 노드가 얼마 없기에 대충 눈으로 봐도 최적의 해는 5->7->9 로 21이 나오는 것이 가장 최적의 값이 된다.

• 그런데, 이때 루트 노드부터 거쳐 가는 노드 값의 합을 최대로 만들고 싶은데, 단순하게 매 상황에서 가장 큰 값만 고른다면?
  
  이와 같이 루트 5부터 시작하여, 7과 10, 8 중 가장 큰 값인 10을 선택하고, 다시 4와 3 중 큰 값인 4를 선택하게 되어 총 합 19가 나오게 된다.
  그런데 이는 최적의 해인 21보다는 낮은 값이 된다.

• 그리디 알고리즘은 이처럼 매 상황에서 가장 큰 값만 고르는 방식이라고 할 수 있다.

• 그렇기에 일반적으로 그리디 알고리즘은 최적의 해를 보장할 수 없을 때가 많다.
  따라서 일반적으로 코딩을 할 때는 그리디 알고리즘을 사용하더라도 충분히 최적에 가까운 값을 얻을 수 있거나, 최적의 해를 얻을 수 있을 때 사용하는 경우가 많다.

• 하지만 코딩 테스트에서는 어떤 입력값이 주어졌을때 어떤 출력값이 나온다는 것을 정해놓고 문제를 만드는 경우가 많기 때문에, 만약 그리디 문제가 출제된다면 탐욕법으로 얻은 해가 최적의 해가 되는 상황에서 단순히 그리디 알고리즘을 이용해도 이처럼 최적의 해를 얻을 수 있다는 것을 추론할 수 있어야 문제가 풀리도록 출제하는 경우가 많다.
  즉 흔히 코테에서 그리디 알고리즘으로 분류되는 문제들은 탐욕법으로 얻은 해가 최적의 해가 되는 경우에 한해서 문제를 출제하는 경우가 많다.

• 글로 보니 너무 헷갈렸는데 아래 예시를 보니 조금 이해가 됐다.

1.1. 거스름돈 문제 예시

❓ 거스름돈 문제 상황

1. 점원은 거스름돈으로 사용할 동전으로 500원과 100원, 50원, 10원이 무한히 가짐
2. 거슬러 줘야할 돈은 N원
3. 거슬러 줘야할 돈 N은 항상 10의 배수
4. 이때 거슬러 줘야 할 동전의 최소 개수를 구하기

• 이와 같은 상황에서 최적의 해를 빠르기 구하기 위해서는 가장 큰 화폐 단위인 500원부터 거슬러 줄 수 있을 만큼까지 거슬러주면 된다.
  N=1,260원 일 때로 가정하면 다음과 같다.
  
  

• 이렇게 가장 큰 500원 부터 거슬러 주는 것이 최적의 해를 보장하는데 그 이유가 있다.
  가지고 있는 동전 중 큰 단위가 항상 작은 단위의 배수이기 때문에, 작은 단위의 동전들을 종합해 다른 해가 나올 수 없기 때문이다.
  다시말해 500원은 항상 100원과 50원, 10원 모두의 배수이기 때문이다.

• 🤔 그렇다면 800원을 거슬러 줄 때, 화폐 단위가 500원과 400원, 100원이라면?
  그리디 알고리즘을 이용해 500원을 하나 거슬러주고 나머지는 100원 짜리 3개로 거슬러 줘야한다.
  하지만 최적은 400원짜리 동전 2개를 거슬러 주는 것이다.
  이처럼 그리디 알고리즘 문제에서는 이처럼 문제 풀이를 위한 최소한의 아이디어를 떠올리고 이것이 정당한지 검토할 수 있어야 한다.

• 코드로 보면 다음과 같다.

  n=1260
  count=0
  arr=[500,100,50,10]
  
  for coin in arr:
      count += n//coin  # 몫: 해당 동전으로 거슬러 줄 수 있는 동전 개수 count
      n %= coin  # 나머지
  
  print(count)  # 6

1.2. 거스름돈 문제 풀이 분석

• 화폐의 종류가 K라고 할때, 소스코드의 시간 복잡도는 $O(K)$
  화폐의 종류만큼만 반복을 수행하면 답을 도출할 수 있다.
• 즉 이 알고리즘의 시간 복잡도는 거슬러줘야하는 금액과는 무관하며, 동전의 총 종류에만 영향을 받는다.

2. 문제

2.1. 문제 1

• N이 1이 될 때까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려 한다.
  단, 두 번째 연산은 N이 K로 나누어 떨어질 때만 선택할 수 있다.
  1. N에서 1을 뺀다.
  2. N을 K로 나눈다.
• N과 K가 주어질 때 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성하시오.
• 입력조건: 첫째 줄에 N(1<=N<=100,000)과 K(2<=K<=100,000)가 공백을 기준으로 하여 각각 자연수로 주어진다.
• 출력 조건: 첫째 줄에 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 횟수의 최솟값을 출력합니다.
• 입력 예시: 25 5
• 출력 예시: 2

예시) N이 17, K가 4라고 가정할 때,
1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16, 이후에 2번의 과정을 두 번 수행하면 N은 1.
결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이 되며, 이는 N을 1로 만드는 최소 횟수다.

2.1.1. 해결 아이디어

• N에 대하여 최대한 많이 나누기를 수행한다.

  예시) N=25, K=3

  0. N=25
  1. N-1 -> N=24
  2. N/K -> N=8
  3. N-1 -> N=7
  4. N-1 -> N=6
  5. N/K -> N=2
  6. N-1 -> N=1

2.1.2. 정당성 분석

가능하면 최대한 많이 나누는 작업이 최적의 해를 항상 보장할까?
문제의 조건상 K가 항상 2이상의 수이기 때문에, 아무리 큰 수더라도 K로 계속 나누기만 한다면 빠르게 줄일 수 있다.
즉 문제의 조건에 해당하는 N과 K에 대해서, 항상 K로 나누는 것이 1을 빼는 것보다 N을 줄일 수 있기 때문에 최적의 해를 보장할 수 있다.
또한 결과적으로 N이 양의 정수라는 조건이 있기 때문에 항상 1에 도달할 수 있다는 것도 사실이다.

2.1.3. ⭐ 코드로 확인

# N, K를 공백을 기준으로 구분하여 입력 받기
# input은 문자열로 입력받아지니 map을 이용해 각각 int로 형변환
n,k = map(int, input().split())  
result = 0

while True:
    # N이 K로 나누어 떨어지는 수가 될 때까지 빼기
    target = (n//k)*k
    result += (n-target)
    n = target
    # N이 K보다 작을 때 (더 이상 나눌 수 없을 때) 탈출
    if n < k: break
    # K로 나누기
    result += 1
    n //= k
    
# 남은 수에 대하여 1씩 빼기
result += (n-1)
print(result)

조금 코드가 이해 안될 수 있다.

target을 두어 N을 K로 나눈 몫에다가 다시 K를 곱한다.
이는 만약 N이 K로 나누어 떨어지지 않는다고 했을 때, 가장 가까운 K로 나누어 떨어지는 수가 어떤 건지를 찾고자 할 때 사용할 수 있다.
N에서 1을 빼는 과정을 몇번 반복해서 target이라는 값까지 만들 수 있고, target이라는 값은 K로 나누어 떨어지는 수가 된다.

그래서 target을 구한 뒤, result라는 변수는 총 연산을 수행하는 횟수로, 1을 빼는 연산을 몇번 수행할지 한번에 계산해서 넣어주는 것이다.
1을 빼는 연산횟수를 한번에 더해주고, 이제 n이 target이 될 수 있도록 한다.

결과적으로 N이 K보다 작다면 반복문을 탈출하고 그렇지 않다면 K로 나눌 수 있도록 하면 된다.
K로 나누는 연산을 한 번 수행하기 때문에 result에 1을 더해준 것이다.

그렇게 N이 K보다 작아지면 탈출하게 되고, 마지막으로 N이 1보다 크다면 1로 만들기 위해 1씩 빼는 연산을 한번에 또 계산할 수 있게 된다.

사실 N과 K는 모두 100,000 이하의 작은 수 연산이기에 그냥 그때 그때 비교하며 빼거나 나누면 되지만, 만약 이렇게 한다면 반복문이 한 번 반복이 될 때 마다 N이 K로 나눠지는 연산이 수행이 되기 때문에 반복 횟수에 따라서 기하급수적으로 N이 줄어들게 되면서 시간복잡도를 log로 만들 수 있게된다.

⭐ 위가 바로 영상을 보며 정리한 내용이다.
그런데 사실 아직도 조금 복잡한 거 같다.
그래서 내가 이해하기 쉽게 정리한 코드는 다음과 같다.

n, k=map(int, input().split())
result=0

while n>=k:
    # 나눌 수 있게 만들기 -> 나머지만큼 빼기
    remainder = n%k
    result += remainder
    n -= remainder

    # 이제 나눌 수 있으니까 한 번 나누기
    result += 1
    n //= k

# 마지막으로 남은 수는 1 될 때까지 빼기
result += n-1

print(result)

개인적으로 이렇게 정리하는 게 훨씬 간결하고 좋은 거 같다..
또한 시간복잡도도 동일하다.
한 루프에서 나머지를 계산하고, 나누기를 한 번 한다.
루프는 n이 k로 나눌 수 없을 때까지, 즉 대략 $O(log_kn)$번 돈다.

2.2. 문제 2

• 각 자리가 숫자(0부터 9)로만 이루어진 문자열 S가 주어졌다.
• 왼쪽부터 오른쪽으로 하나씩 모든 숫자를 확인하며 숫자 사이에 $\times$ 혹은 $+$ 연산자를 넣어 결과적으로 만들어질 수 있는 가장 큰 수를 구하는 프로그램을 작성하라.
• 단 $+$ 보다 $\times$ 를 먼저 계산하는 일반적인 방식과는 달리, 모든 연산은 왼쪽에서부터 순서대로 이루어진다고 가정한다.
• 입력조건: 첫째 줄에 여러 개의 숫자로 구성된 하나의 문자열 S가 주어진다.
  (1 <= S의 길이 <=20)
• 출력조건: 첫째 줄에 만들어질 수 있는 가장 큰 수를 출력한다.
• 예시) 02984라는 문자열로 만들 수 있는 가장 큰 수는 ((((0+2)x9)x8)x4)=576이다.
• 또한 만들어질 수 있는 가장 큰 수는 항상 20억 이하의 정수가 되도록 입력이 주어진다.

2.2.1. 해결 아이디어

• 대부분의 경우 +보다는 x 가 더 값을 크게 만든다.
• 다만 두 수중에서 하나로도 0 혹은 1인 경우, 곱하기보다는 더하기를 수행하는 것이 효율적이다.
• 따라서 두 수에 대해 연산을 수행할 때, 두수 중 하나라도 1 이하라면 +, 두 수가 모두 2 이상인 경우에는 x 를 수행하면 된다.

2.2.2. ⭐ 코드로 확인

s=input()  # 01234

# 첫 번째 문자를 숫자로 변경하여 대입
result = int(s[0])

for i in range(1, len(s)):
	# 두 수 중에서 하나라도 0 혹은 1인 경우, 곱하기보다는 더하기 수행
    num=int(s[i])
    if num <=1 or result <=1:
    	result += num
    else:
    	result *= num

print(result)  # 36

다만 파이썬은 문자를 정수로 변환하는 내장 기능을 이미 갖추고 있지만, 다른 언어에서는 아스키 코드 빼고 이런 과정이 필요하다.

2.3. 문제 3

• 한 마을에 모험가 N명이 있다.
• N명의 모험가는 "공포도"를 가지며 이가 높으면 위험 상황 대처 능력이 떨어진다.
• 길드장은 모험가 그룹을 안전하게 구성하고자 "공포도"가 X인 모험가는 반드시 X명 이상으로 구성한 모험가 그룹에 참여해야 여행을 떠날 수 있도록 규정했다.
• 최대 몇 개의 모험가 그룹을 만들 수 있을까.
• N명의 모험가에 대한 정보가 주어졌을 때, 여행을 떠날 수 있는 그룹의 최댓값을 구하시오.
• 예시) N=5, 각 모험가의 공포도는 2, 3, 1, 2, 2.
  이 경우 그룹 1에 공포도가 1, 2, 3인 모험가를 한 명씩 넣고, 그룹 2에 공포도가 2인 남은 두 명을 넣게 되면 총 2개의 그룹을 만들 수 있다.
  또한 몇 명의 모험가는 마을에 그대로 남아 있어도 되기 때문에, 모든 모험가를 특정한 그룹에 넣을 필요는 없다.
• 입력 조건: 첫째 줄에 모험가의 수 N이 주어진다. (1<=N<=100,000)
  둘째 줄에 각 모험가의 공포도의 값을 N 이하의 자연수로 주어지며, 각 자연수는 공백으로 구분한다.
• 출력 조건: 여행을 떠날 수 있는 그룹 수의 최댓값

# 입력예시
5
2 3 1 2 2

# 출력 예시
2

2.3.1. 해결 아이디어

• 오름차순 정렬 이후 공포다가 낮은 모험가부터 하나씩 확인한다.
• 이후 앞에서부터 공포도를 하나씩 확인하며 "현재 그룹에 포험된 모험가의 수"가 "현재 확인하고 있는 공포도" 보다 크거나 같다면 이를 그룹으로 설정한다.

앞에서부터
1. 첫 모험가의 공포도는 1 -> 그룹1 결성 가능
2. 두번째 모험가의 공포도는 2 -> 그룹을 결성할 수 없다.
3. 세번째 모험가의 공포도도 2 -> 두번째 모험가 + 세번째 모험가 -> 그룹 2 결성 가능
이런 순서대로 가는데 어떤 방법으로 진행하더라도 그룹의 수는 2를 넘을 수 없다.

2.3.2. ⭐ 코드로 확인

n=int(input())  # 7
data=list(map(int, input().split()))  # 3 2 2 1 5 4 2
data.sort()

result=0  # 총 그룹 수
count=0  # 현재 그룹에 포함된 모험가 수

for i in data:  # 공포도를 낮은 것부터 하나씩 확인하며
    count += 1  # 현재 그룹에 해당 모험가를 포함시키기
    if count >= i:  # 현재 그룹에 포함된 모험가의 수가 현재 공포도 이상이라면 그룹 결성
        result += 1  # 총 그룹의 수 증가
        count = 0  # 현재 그룹에 포함된 모험가 수 초기화

print(result)  # 2