내분점,외분점

내분점

안에서 나누는점

외분점

밖에서 나누는점

내분점은 선분안에 존재하고, 외분점은 선분밖에 존재한다.

$\overline{AB}$를 $m:n$ 으로 내분하는 $P$ 의 좌표

$P = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$

유도과정

$x-x_1 : x_2 - x = m : n$
$m(x_2 - x) = n(x-x_1)$
$mx_2 -mx = nx -nx_1$
$mx_2 + nx_1 = nx + mx$
$mx_2 + nx_1 = x(m + n)$
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$

$\overline{AB}$를 $m:n$ 으로 외분하는 $Q$ 의 좌표

$Q = \frac{mx_2 - nx_1}{m-n}$

유도과정

• $x-x_1 : x-x_2 = m : n$
• $n(x-x_1) = m(x-x_2)$
• $nx - nx_1 = mx - mx_2$
• $mx_2 - nx_1 = mx - nx$
• $mx_2 -nx_1 = x(m-n)$
• $x = \frac{mx_2-nx_1}{m-n}$

선분의 중점 위치

$A(x_1)$ 와 $B(x_2)$를 이은 선분의 중점은, $\frac{x_2 + x_1}{2}$에 위치한다.

삼각형의 무게중심의 좌표

$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

유도과정

$\overline{BC}$의 중점은 $1:1$로 내분하는 점이다.
$M = (\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}) = (m_1,m_2)$
무게중심($G$)은 $\overline{AM}$을 $2 : 1$로 내분하는 점이다.
$G = (\frac{2 \times m_1 + 1 \times x_1}{3},\frac{2 \times m_2 + 1 \times y_1}{3})$
$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$