두 직선의 위치관계

두 직선이 갖는 위치관계

1. 한 점에서 만난다. = 교점이 1개라는 뜻
2. 평행한다. = 교점이 없다.
3. 일치한다. = 교점이 무수히 많다.

기울기와 y절편에 따라, 위치관계가 결정된다.

• 두 직선이 평행하거나 일치한다면, 두 일차함수의 기울기는 같다.
  = 기울기가 다르다면, 한 점에서 만난다.
• 기울기와 y절편이 같다면, 두 직선을 일치한다.

두 직선이 수직인 조건

두 일차함수 $y = mx + a$ , $y = nx + b$가 있을때
$mn = -1$ 이면, 두 직선은 수직으로 만난다.

유도과정

직선($y = mx$) 가 직선($y = nx$)와 수직으로 만난다.

$x = 1$인 직선을 그리면, 다음과 같은 직각삼각형이 만들어진다.

$\overline{AB}$의 길이는 $\sqrt{m^2 + 1}$ , $\overline{BC}$의 길이는 $\sqrt{n^2 + 1}$ 이다.
$\overline{AC}$의 길이는 $m - n$ 이다. $n$이 음수이기때문에 빼줘야한다.
피타고라스 정리에 의해, $(\sqrt{m^2 + 1})^2 + (\sqrt{n^2+1})^2 = (m-n)^2$ 가 성립한다.

$(\sqrt{m^2 + 1})^2 + (\sqrt{n^2+1})^2 = (m-n)^2$
$m^2 + 1 + n^2 + 1 = (m-n)^2$
$m^2 + n^2 + 2 = (m-n)^2$
$m^2 + n^2 + 2 = m^2 - 2mn + n^2$
$2 = - 2mn$
$mn = -1$

두 일차함수의 교점을 지나는 일차함수 구하기

기울기가 다른 두 일차함수가 있다.
기울기가 다르기때문에, 두 직선은 어느 한 교점에서 만난다.

$y = ax + b$ , $y = a'x + b'$ 을 일차방정식 꼴로 나타내면,
$y -ax - b = 0$ , $y - a'x - b' = 0$ 으로 표현할수 있다.

0에 어떤 수를 곱하던 0이기 때문에,
$y - ax - b + m(y -a'x -b') = 0$ 인 일차방정식 꼴인 일차함수를 만들수있다.
이 일차함수는 두 일차함수의 교점을 지나는 직선이고
$m$ 의 값에 따라 무수히 많은 직선으로 표현할수있다.

이때, 이 직선이 특정한 점$(x',y')$을 지난다면 $x',y'$ 값을 대입하여 $m$의 값을 구할수 있다.

예제

두 일차함수 $-2x + y - 5 = 0$ , $3x + 2y - 3 = 0$의 교점을 지나고 점$(1,2)$ 을 지나는 직선의 일차방정식을 구하여라.

• $-2x + y - 5 + m(3x + 2y - 3) =0$ 이라는 두 일차함수의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구할수 있다.
  이 직선이 점$(1,2)$를 지나니 $x,y$ 값을 대입하여 $m$의 값을 구할수있다.

$-2 + 2 - 5 + m(3 + 4 - 3) = 0$
$-5 +4m = 0$
$4m = 5$
$m = \frac{5}{4}$

• $-2x + y - 5 + \frac{5}{4}(3x + 2y - 3) =0$ 의 식을 세울수 있다.

$-8x + 4y - 20 + 5(3x + 2y - 3) = 0$
$-8x + 4y - 20 + 15x + 10y - 15 = 0$
$7x + 14y - 35 = 0$
$x + 2y - 5 = 0$

• 최종적으로, 두 일차함수의 교점을 지나면서 점$(1,2)$ 을 지나는 일차함수를 구할수 있다.