복소수

실수(Real Number)

실제로 존재하는수
제곱했을때 양수가 되는수

허수(Imaginary Number)

실수가 아닌수

허수의 특징

• 제곱했을때 음수 인수.
  $\sqrt{-5}$ ,$\sqrt{-3}$

• 실수 $\times \sqrt{-1} =$ 허수
  모든 허수는 $실수 \times \sqrt{-1}$ 으로 표현 할수있기때문에,
  $\sqrt{-1}$ 을 허수단위라고 부르며 i 로 표현한다.

• 대소판별은 불가능하고, 상등판별만 가능하다.

• $i$의 지수 규칙
  

이처럼 $i$의 지수가 늘어나도 값이 일정하게 반복되어서 $i$의 지수를 4로 나눈 나머지에 따라 값을 알수있다.

• $i$의 지수가 4번연속되면, 값이 0이 된다.

  $i + i^2 + i^3 + i^4 = 0$
  $\sqrt{-1} + -1 + -\sqrt{-1} + 1 = 0$

  • 시작하는 지수와 상관없이 4번 연속되면 0임.

모든 복소수는 $a + bi$ 형식으로 나타낼수있다.

$3 = 3 + 0i$
$5i = 0 + 5i$
$2 + 3i$

이때, $a$를 실수부(분), $i$의 계수를 허수부(분) 이라고 한다.

• 어떤수가 실수인 조건

  $a + bi$ 에서 $b = 0$

• 어떤수가 허수인 조건

  $a + bi$ 에서 $b \neq 0$

복소수의 사칙연산

$(a + ci) + (b + di) = (a + c) + (b + d)i$
$(a + ci) - (b + di) = (a - c) + (b - d)i$
$(a + ci)(b + di) = (ab - cd) + (ad + bc)i$

• 실수부끼리, 허수부끼리 계산한다.

허수의 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 이용해, 분모의 실수화를 해줘야한다.

분모의 실수화란? 분모의 켤레복소수를 분모와 분자에 곱하는것을 말함.

$(3 + 2i) \div (2 - i) = \frac{(3 + 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{4 + 7i}{5}$