산술평균과 기하평균

$x > 0, y > 0$일때, $\sqrt{x} ,\sqrt{y}$ 는 실수이다.

• 제곱근 안의 수가 양수면 실수이기때문에

$실수 - 실수 = 실수$ 이기때문에,
$\sqrt{x} - \sqrt{y} = 실수$ 이다.
그리고, $실수^2 \geq 0$ 이기 때문에
그래서, $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geq 0$ 이 성립한다.
식을 풀어보면, $x - 2\sqrt{xy} + y \geq 0$ 이다.
$-2\sqrt{xy}$를 이항하면, $x + y \geq 2\sqrt{xy}$ 이다.
그래서 두 양수의 합은 $2\sqrt{양수 의 곱}$ 보다 크거나 같다 라고 할수있다.

이 식을 $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$ 로 바꿀수있다.
이때, $\frac{x + y}{2}$ 을 산술평균 , $\sqrt{xy}$ 을 기하평균 이라고 부른다.
그래서 산술평균은 기하평균보다 크거나 같다 라고 할수있다.

산술평균과 기하평균의 용도

• 두 양수 합의 최솟값을 구할때
• 두 양수 곱의 최댓값을 구할때

예제

$x > 0 , y > 0$ 이고, $xy =6$일때 $x + y$의 최솟값을 구하여라.
$x + y >= 2\sqrt{xy}$
$x + y >= 2\sqrt{6}$ 이므로, $x + y$ 의 최솟값은 $2\sqrt{6}$ 이다.

주의할점

• 두 수가 양수 일때만 성립한다.
• 두 수의 곱을 상수로 표현할수있어야 한다.