일차함수

$x$차함수는 $x$차식 으로 표현할수있다.

$x$차함수 = $x$차식

함수에 대응하는 수의 집합을 여러 점으로 나타낸것을 함수의 그래프 라고 부릅니다.
일차함수의 그래프는 직선입니다. 그래서, 일차함수를 직선의 방정식 이라고 부릅니다.
일차함수는, $y = ax + b$ 으로 표현 할수있고 여기서, $a$는 기울기, $b$는 $y$절편이라고 부릅니다.

기울기

기울기는 일차함수의 그래프가 기우는 정도를 상수로 나타낸것이며,
기울기의 부호와 절댓값에 따라 직선의 방향와 경사가 달라집니다.
기울기가 클수록 그래프가 경사가 커집니다.
기울기는 $\frac{y의증가량}{x의 증가량}$ 으로 나타낼수 있습니다.

$x$축 or $y$축에 평행하는 직선의 기울기

• $x$축에 평행하는 직선의 일차함수는 $y = a$ 꼴로 표현할수있습니다.
  이는 다시말해, $y = 0x + a$ 꼴로 표현할수있고, 이때 기울기는 0입니다.
  그래서, $x$축에 평행하는 직선의 기울기는 $0$입니다.
• $y$축에 평행하는 직선의 일차함수는 $x = a$ 꼴로 표현할수있습니다.
  두점 $(2,3),(2,6)$은 y축에 평행하는 직선 $x = 2$ 에 속하는 점들입니다.
  기울기는 $\frac{y의 증가량}{x의 증가량}$ 이므로, 해당 직선의 기울기는 $\frac{6-3}{2-2} = \frac{3}{0}$ 으로 표현할수있습니다.
  $\frac{3}{0}$은 존재하지 않는 수이기때문에, $y$축에 평행하는 직선의 기울기는 없습니다.

절편

절편은 그래프에서 함수가 축과 만나는 점을 의미합니다.

$x$축 과 $y$축
$x축 = (y = 0), y축 = (x = 0)$

절편은 $x$절편과 $y$절편으로 구분됩니다.
$y$절편은 $x$값이 0일 때의 $y$값을 의미합니다. 즉, 그래프에서 $y$축과 만나는 점입니다.
$x$절편은 $y$값이 0일 때의 $x$값을 의미합니다. 즉, 그래프에서 $x$축과 만나는 점입니다.

절편 구하기

$y = ax + b$ 일차함수의 $x$ 와 $y$ 에 0을 대입해 $x$절편과 $y$절편을 구할수 있다.

유도과정

• $y = ax+b$ 라는 일차함수는 무한한 직선이고, $x$축 과 $y$축 또한 무한한 직선이기때문에, 두직선이 평행하지않으면 어느 한점에서 만날수밖에 없다. = 교점이 있다.
• 그래서 두 직선의 교점이 있기때문에, 연립방정식을 세울수 있다.

  
  $\begin{cases} y = ax + b \\ x = 0 \end{cases}$
  or
  $\begin{cases} y = ax + b \\ y = 0 \end{cases}$

이러한 연립방정식을 세울수 있기때문에,
$y = ax + b$의 일차함수에 0을 대입해 $x$절편,$y$절편을 구할수 있다.

일차함수를 구하는 조건

일차함수는 기울기와 지나는 점 1개를 알면 구할수있고
기울기는 지나는 점 2개를 알면 구할수 있습니다.
즉, 일차함수는 지나는 점 2개를 알면 구할수 있습니다.

일차방정식과 일차함수의 관계

일차방정식 $ax + by + c = 0$ 은 $y = -\frac{a}{b}x -\frac{c}{b}$ 인 일차함수 로도 표현할수 있다.
$y = -\frac{a}{b}x -\frac{c}{b}$ 꼴을 표준형, $ax + by + c = 0$ 꼴을 일반형이라고 부른다.
그래서, 일차방정식은 일차함수이며 직선의 방정식이다.

연립방정식이 성립하는 이유

• 일차방정식은 일차함수이기때문에, 직선으로 표현할수 있습니다.
• 평행하지않는, 즉 기울기가 같지않는 두 일차함수의 그래프는 어느 한점에서 만나게된다.
• 교점이 있기때문에, 동일한 미지수를 해로 갖는 일차방정식이 되는것이다.

일차함수의 평행이동

$y = ax + b$의 그래프를 $x$를 $m$만큼, $y$를 $n$만큼 평행이동 시킨다면,
$y - n = a(x-m) + b$ 의 그래프가 된다.

유도과정

$y = 3x + 2$ 의 그래프는 $(1,5)$ 와 $(2,8)$의 점을 지난다.
이때, 이 그래프에서 $x$를 $4$만큼, $y$를 $2$만큼 평행이동시킨다면, 해당 그래프는 $(5,7)$, $(6,10)$ 의 점을 지날것이다. 그래프의 두점을 알면 일차함수의 기울기를 알수있다.
평행이동한 그래프의 기울기 = $\frac{10-7}{6-5} = 3$
$y = 3x + b$ 꼴에서, 그래프를 지나는점인 $(5,7)$을 대입해보면 $7 = 15 + b$
$b = -8$ 이므로, $y = 3x -8$인 일차함수를 구할수있다.
이때, $y - n = a(x-m) + b$꼴로 식을 세워보면 $y - 2 = 3(x - 4) + 2$
$y - 2 = 3(x - 4) + 2$ 를 정리해보면, $y - 2 = 3x - 10$ = $y = 3x -8$으로
두 일차함수가 일치한다.

직선의 기울기가 같다면, 두 직선은 평행한다.

$x$절편과 $y$절편으로 일차함수 구하기

$x$절편이 $a$, $y$절편이 $b$인 일차함수는

미지수가 포함된 직선이 지나는 정점

$mx -4y - 3m + 8 = 0$인 직선이 있다.
미지수 $m$의 값에 관계없이 직선이 항상 지나는 정점이 있다.
해당 정점은 $m$에 대한 항등식으로 구할 수 있다.
$(x-3)m - 4y + 8 = 0$ 에서, $x = 3, y = 2$ 라면 $m$에 대한 항등식이 되고 해당 좌표는 직선이 $m$에 관계없이 지나는 정점이 된다.