이차방정식의 근과 계수의 관계

$ax^2 + bx + c = 0, (a \neq 0)$의 두근을 $\alpha,\beta$라 하면
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ , $\alpha\beta = \frac{c}{a}$

유도과정

$ax^2 + bx + c = 0$ 의 근을 근의 공식으로 구해보면,
$x = \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 2개의 근을 구할수있고, 근의 합과 곱을 계산해보면

$\frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

$\frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \times \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{b^2-b^2 +4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

이차방정식의 작성법

이차방정식의 두근이 $a,b$라면

$(x-a)(x-b) = 0$
$x^2 - (a+b)x + ab = 0$

두 실수 $a,b$에 대하여 2차방정식 $x^2 + ax + b = 0$의 한 근이 $2+i$ 일때 다른 한근은 $2 - i$ 이다.

두 유리수 $a,b$에 대하여 2차방정식 $x^2 + ax + b = 0$의 한 근이 $2+ \sqrt{3}$ 일때 다른 한근은 $2 - \sqrt{3}$이다.

역수의 근을 갖는 이차방정식

$ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha,\beta$ 라 할때, $\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta}$를 근으로 갖는 이차방정식

유도과정

$\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta}$ 을 근으로 갖는 이차방정식은
$x^2 - (\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta})x + \frac{1}{\alpha\beta} = 0$ 로 나타낼 수 있다.

$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = -\frac{b}{a} \div \frac{c}{a} = -\frac{b}{a} \times \frac{a}{c} = -\frac{b}{c}$

$\frac{1}{\alpha\beta} = \frac{a}{c}$

$x^2 -(-\frac{b}{c})x + \frac{a}{c} = x^2 + \frac{b}{c}x + \frac{a}{c} = 0$
모든 항에 $c$를 곱해주면,
$c(x^2 + \frac{b}{c}x + \frac{a}{c}) = 0$
$cx^2 + bx + a = 0$ 가 된다.