행렬

행렬(Matrix)

숫자나 기호를 직사각형 모양으로 배열한 것.
m개의 행(row)과 n개의 열(column)로 이루어진 행렬을 m × n 행렬이라고 한다.

ex) 2 × 3 행렬

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

단위행렬 (Identity Matrix, $I$)

n × n 정사각행렬로, 대각선 원소가 1이고 그 외 나머지 원소는 0인 행렬.

$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

단위행렬과의 곱셈

어떤 수에 1을 곱하면 그대로인 것처럼, 어떤 행렬에 단위행렬을 곱하면 그대로이다.
$AI = IA = A$

행렬 곱셈

"앞 행렬의 가로줄(행)과 뒤 행렬의 세로줄(열)을 짝지어, 곱하고 더한다"
"i번째 줄, j번째 칸"의 값은 → A의 i번째 가로줄과 B의 j번째 세로줄의 만남으로 만들어진다.

계산 예시

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

(예: 좌상단 19 = 1×5 + 2×7)

행렬 곱셈 가능 조건

$\underbrace{(m \times \boxed{n})}_{\text{앞 행렬}} \cdot \underbrace{(\boxed{n} \times p)}_{\text{뒤 행렬}} = (m \times p)$

→ 가운데 숫자는 같아야 하고(곱셈 가능 조건), 바깥 숫자가 결과 크기가 된다.

행렬 곱셈의 성질

• 교환법칙 ❌: 일반적으로 $AB \neq BA$
• 결합법칙 ✅: $(AB)C = A(BC)$
• 분배법칙 ✅: $A(B+C) = AB + AC$