이 포스팅은 이번 시리즈의 마지막 포스팅이다. 이 시리즈의 첫 포스팅과 같은 질문으로 시작해본다.

벡터란 무엇일까?

지금까지 우리는 벡터를 공간 안에 있는 하나의 화살표, 혹은 실수 집합으로 이해하고 공부했다. 하지만 이것은 정확하지 않다. 사실 선형성만 만족한다면 무엇이든 벡터가 될 수 있다.

흔히 벡터를 '방향과 힘이 있는 것'으로 정의한다. 이런 정의에 따르면 벡터는 '공간'의 개념이 아닐까 싶다. 하지만 아래와 같은 이유로 벡터를 공간의 개념으로 설명하면 약간 부족하다.

공간을 나타내기 위해서는 좌표계가 필요하다. 그런데 선형변환을 하여 공간이 일그러지면, 좌표계에 따라 같은 벡터라도 표현하는 방법이 달라진다. 따라서 공간은 벡터를 표현하기 위한 도구일 뿐이지 벡터 자체를 관통하는 개념은 아니다.

정확한 정의는 벡터란 선형성을 만족하는 모든 것이다. 그렇다면 선형성은 무엇일까?

선형성과 벡터 공간(vector space)

선형성을 만족하려면 아래 두 조건을 만족해야한다.

1. 합 법칙(Additivity) : $L(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = L(\overrightarrow{v}) + L(\overrightarrow{w})$
   : $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$를 선형변환 한 결과와 각각 선형변환을 한 후 더한 결과가 같아야 한다.
2. 스케일링(Scaling) : $L(c\overrightarrow{v}) = cL(\overrightarrow{v})$
   : 스케일링 후 선형변환 한 결과와 선형변환 후 스케일링 한 결과가 같아야 한다.

이 두 성질을 합쳐서 "선형변환이 합과 실수배를 보존한다." 라고 한다. 지금까지 벡터를 스케일링 한다거나, 선형변환을 거친 벡터를 찾는다거나, 행렬식을 구하는 것 등 모든 것이 바로 이 선형성 때문에 가능했던 것이다.

선형성은 벡터에만 적용되는 것이 아니라 함수에도 적용된다. 예를 들어 미분 함수를 생각해보자.

1. $\frac{d}{dx}(x^3 + x^2) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x^2)$이므로 합 법칙이 성립한다.
2. $\frac{d}{dx}(4x^3) = 4\frac{d}{dx}(x^3)$이므로 스케일링도 성립한다.

꼭 함수가 아니더라도 숫자의 집합, 화살표의 집합 등 위 두 성질을 만족하면 모두 벡터와 같이 사용할 수 있다. 벡터와 비슷한 것들의 집합을 벡터공간(vectore space)라고 한다.

Axiom

수학에는 선형성을 판단하는 두 가지 기준, 합과 스케일링에서 파생된 8가지의 규칙이 있다. 이를 Axiom(공리)이라 한다. Axiom은 아래와 같다.(외우지 말자)

이 규칙들은 정확한 이론에 대해서는 항상 성립한다. input을 어떤 값으로 넣든, 어떤 시점에 넣든 말이다. 따라서 Axiom은 내가 발견한 이론이 정말 타당한지를 확인하는 체크리스트의 역할을 한다.

그리고 Axiom을 만족하는 것들은 전부 벡터가 될 수 있다!

따라서 가장 처음에 했던 질문인 벡터는 무엇일까?에 대한 정확한 대답은 없다. 그냥 앞서 나열한 규칙들을 만족하면 모두 벡터가 될 수 있기 때문이다.