고유벡터와 고유값의 개념

고유벡터와 고유값을 이해하기 위해서는 span이 무엇인지 기억을 더듬어 봐야한다.(챕터 2 참고) span은 두 기저벡터로 만들어질 수 있는 벡터의 집합이며 하나의 선으로 표현된다.

대부분의 벡터들은 선형변환을 하면 기존 span에서 벗어난다. 아래 그림처럼 말이다.(분홍색 실선이 span을 표현한 것이다.)

그런데 가끔씩 선형변환을 해도 span이 바뀌지 않는 벡터들이 있다. 이러한 벡터들은 선형변환 후에도 방향이 바뀌지 않는다는 뜻이고, 벡터가 늘어나거나 줄어드는 것 밖에 없다는 뜻이다. 이처럼 선형변환 후에도 span을 벗어나지 않는 벡터들을 고유벡터(eigenvector)라고 하고, 벡터의 길이가 변하는 정도를 고유값(eigenvalue)라고 한다.

아래 예시를 살펴보자.

$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$의 경우 선형변환을 해도 span이 바뀌지 않는 벡터는 2 개 있다. 다시 말해 고유벡터가 2개 있다. 위 이미지에서 볼 수 있듯 $x$축이 span인 벡터와, 왼쪽으로 약간 기울어져있는 벡터이다. 그리고 각각 길이는 3배, 2배 만큼 커졌다. 따라서 이 때의 고유값은 3, 2이다.

고유벡터와 고유값의 계산

고유벡터는 선형변환 하여도 방향은 바뀌지 않고 길이만 고유값만큼 바뀌는 것이었다. 따라서 고유벡터를 아래와 같이 표현할 수 있다.

위 식을 해석하면 "$A$라는 선형변환을 거쳐 벡터 $\overrightarrow{v}$는 $\lambda$만큼 길이가 바뀌었다"이다.

그런데 위 식에서 좌변은 행렬과 벡터의 곱, 우변은 벡터의 스케일링이니 계산이 애매하다.$\lambda$는 벡터를 스케일링하는 값이므로 $\lambda$를 아래와 같이 행렬로 고쳐 표현할 수 있다.

따라서 최초의 식은 다음과 같이 변경된다.

행렬과 벡터의 곱이 0벡터가 되려면 두 가지 경우가 있다.

1. $\overrightarrow{v}$가 0벡터가 되기
2. $det(A - \lambda I)$ 가 0이 되기. (공간의 차원 자체가 축소되기(챕터 6 참고))

$\overrightarrow{v}$가 0벡터라면 크게 계산할 것이 없으므로 두 번째 경우를 살펴보겠다. 두 번째 식에서 $\lambda$를 구할 수 있다.(쉬운 이해를 위해 2차원을 가정한다.)

이렇게 $\lambda$를 구하면, $\overrightarrow{v}$도 구할 수 있게 된다는 것이다!

고유벡터는 언제나 존재하지 않는다. 고유벡터가 없는 경우도 있는데, 그럴 때에는 $\lambda$의 해가 허수로 나온다. (공간을 반시계 방향으로 90도 회전하는 선형변환 $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$을 한 번 계산해보시길)

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잘 모르겠음,,,, 도와줘요 신행맨