[DX] 선형변환 (linear transformation)

정의

선형변환이란, 벡터 공간에서 벡터를 다른 벡터로 변환하는 함수로서, 다음 두 가지 조건을 만족하는 함수 $T$를 말한다.

조건

1. 덧셈에 대해 보존:

2. 스칼라 곱에 대해 보존:

즉, 선형변환은 한 벡터 공간의 벡터를 다른 벡터 공간의 벡터로 변환하는 규칙이다.
기저가 바뀌면 같은 벡터도 다른 좌표로 표현될 수 있는데, 이때도 선형변환이 사용된다.

예시

기하학적인 선형 변환

변환 종류	설명	행렬 표현
스케일링	크기를 늘리거나 줄임	$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ (x2, y3 배)
회전	원점을 중심으로 회전	$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$
반사	축을 기준으로 대칭	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ (x축 기준 반사)
전단(Shear)	한 방향으로 밀기	$\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ (x축 방향 전단)

행렬 표현

모든 선형변환은 행렬 곱으로 표현할 수 있다.
즉, 선형변환 $T$은 다음과 같이 **행렬 $A$**와의 곱으로 나타납니다:

여기서:

• $A$는 $m \times n$ 행렬
• $\vec{x}$는 $\mathbb{R}^n$의 벡터
• 결과 $T(\vec{x})$는 $\mathbb{R}^m$의 벡터