[DX] 역행렬 (Inverse Matrix)

김진우·2025년 6월 25일

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의미

역행렬(Inverse Matrix)이란, 어떤 정방행렬 $A$ 에 대해 다른 행렬 $A^{-1}$ 이 존재하여 아래 조건을 만족할 때:

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I

여기서 $I$ 는 단위행렬(Identity matrix)로, 곱셈에 대해 항등원 역할을 한다.

$A^{-1}$ 을 A에 대한 역행렬이라고 한다.

즉, 역행렬은 원래의 행렬 곱을 "되돌려주는" 역할을 한다.

역행렬이 존재하는 조건

역행렬은 다음 조건을 모두 만족해야 한다.
1. 정방행렬 (nxn) 이어야 함
2. 행렬식 $\det(A) \ne 0$ 이어야 함
→ 0이면 선형독립이 아니며, 되돌릴 수 없음

이런 행렬을 가역 행렬(invertible matrix) 또는 비특이 행렬(non-singular matrix)이라고 부른다.

2×2 행렬의 역행렬

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

\text{det}(A) = ad - bc

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

단, $ad - bc \ne 0$ 이어야 역행렬이 존재한다.

3×3 이상의 행렬: 역행렬 구하는 방법

1. 가우스-조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)

$A$ 옆에 단위행렬 $I$ 를 붙여 $[A|I]$ 형태로 만들고
행 연산을 통해 $A$ 를 단위행렬로 바꾸면, 그때 오른쪽에 남는 행렬이 $A^{-1}$ 이 된다.

예:

A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

$[A\ |\ I]$ 형태로 시작한다.

\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

Step 1: 첫 번째 열의 피벗을 1로 만든다
행 1을 2로 나눈다:

R_1 \leftarrow \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Step 2: 첫 열 아래 원소들을 0으로 만든다

$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$
$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$

\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 2.5 & 1.5 & -0.5 & 1 & 0 \\ 0 & -0.5 & -0.5 & -0.5 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Step 3: 두 번째 피벗을 1로 만든다
$R_2 \leftarrow \frac{1}{2.5} R_2$

\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 & -0.2 & 0.4 & 0 \\ 0 & -0.5 & -0.5 & -0.5 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Step 4: 두 번째 열의 나머지를 0으로 만든다

$R_1 \leftarrow R_1 - 0.5 \cdot R_2$
$R_3 \leftarrow R_3 + 0.5 \cdot R_2$

결과:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0.2 & 0.6 & -0.2 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 & -0.2 & 0.4 & 0 \\ 0 & 0 & -0.2 & -0.6 & 0.2 & 1 \end{bmatrix}

Step 5: 세 번째 피벗을 1로 만든다
$R_3 \leftarrow R_3 / (-0.2)$

\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0.2 & 0.6 & -0.2 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 & -0.2 & 0.4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -5 \end{bmatrix}

Step 6: 세 번째 열의 나머지를 0으로 만든다

$R_1 \leftarrow R_1 - 0.2 \cdot R_3$
$R_2 \leftarrow R_2 - 0.6 \cdot R_3$

결과:

\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -5 \end{array} \right]

➡ 왼쪽이 단위행렬, 오른쪽이 $A^{-1}$ 이 된다.

2. 여인자(cofactor)와 수반행렬(adjugate) 이용

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)

adj(A): A의 수반행렬 (cofactor 행렬을 전치시킨 것)
이 방식은 공식적으로 정의되지만, 계산량이 많아서 고차 행렬에서는 실용성이 떨어진다.

예시:

A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(A) = 4 \cdot 6 - 2 \cdot 7 = 10

수반행렬:

\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}

김진우

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