문제

https://www.acmicpc.net/problem/2467

KOI 부설 과학연구소에서는 많은 종류의 산성 용액과 알칼리성 용액을 보유하고 있다. 각 용액에는 그 용액의 특성을 나타내는 하나의 정수가 주어져있다. 산성 용액의 특성값은 1부터 1,000,000,000까지의 양의 정수로 나타내고, 알칼리성 용액의 특성값은 -1부터 -1,000,000,000까지의 음의 정수로 나타낸다.

같은 양의 두 용액을 혼합한 용액의 특성값은 혼합에 사용된 각 용액의 특성값의 합으로 정의한다. 이 연구소에서는 같은 양의 두 용액을 혼합하여 특성값이 0에 가장 가까운 용액을 만들려고 한다.

예를 들어, 주어진 용액들의 특성값이 [-99, -2, -1, 4, 98]인 경우에는 특성값이 -99인 용액과 특성값이 98인 용액을 혼합하면 특성값이 -1인 용액을 만들 수 있고, 이 용액의 특성값이 0에 가장 가까운 용액이다. 참고로, 두 종류의 알칼리성 용액만으로나 혹은 두 종류의 산성 용액만으로 특성값이 0에 가장 가까운 혼합 용액을 만드는 경우도 존재할 수 있다.

산성 용액과 알칼리성 용액의 특성값이 정렬된 순서로 주어졌을 때, 이 중 두 개의 서로 다른 용액을 혼합하여 특성값이 0에 가장 가까운 용액을 만들어내는 두 용액을 찾는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에는 전체 용액의 수 N이 입력된다. N은 2 이상 100,000 이하의 정수이다.

둘째 줄에는 용액의 특성값을 나타내는 N개의 정수가 빈칸을 사이에 두고 오름차순으로 입력되며, 이 수들은 모두 -1,000,000,000 이상 1,000,000,000 이하이다.

N개의 용액들의 특성값은 모두 서로 다르고, 산성 용액만으로나 알칼리성 용액만으로 입력이 주어지는 경우도 있을 수 있다.

출력

첫째 줄에 특성값이 0에 가장 가까운 용액을 만들어내는 두 용액의 특성값을 출력한다. 출력해야 하는 두 용액은 특성값의 오름차순으로 출력한다.
특성값이 0에 가장 가까운 용액을 만들어내는 경우가 두 개 이상일 경우에는 그 중 아무것이나 하나를 출력한다.

예제

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풀이

투 포인터

두 용액의 특성값의 합이 최대한 0에 가까워야 한다. 즉, 0으로부터 떨어진 거리 (절댓값)가 최소여야 한다! 일단, n개의 용액 중에서 두 개를 선택하여 합을 구하고, 그 중에서 0으로부터 떨어진 거리가 최소인 것을 찾아보자.

특성값의 합이 양수일 때는 그 자체가 최솟값이고, 음수일 때는 앞에 마이너스를 붙여서 절댓값으로 만들어주면 된다.

n개 중에서 2개를 선택하는 경우의 수: nC2 = n(n-1)/2 -> O(n^2) (n은 최대 10만)

따라서, 완탐으로 풀면 시간초과 뜰 것이 분명하다. 그렇다면 두 용액의 특성값의 합을 효율적으로 구하려면 어떻게 해야 할까!

0에 최대한 가까워야 하므로, 양수와 음수를 더하는 것이 효과적일 것이다. 그런데 둘 다 양수거나 둘 다 음수라면? 문제 조건에서 그런 경우도 최솟값이 될 수 있다고 했으므로, 그냥 둘이 더하면 된다.

양끝에서 다가오는 투 포인터를 이용해서 최대한 0에 가까운 특성값을 만드는 두 용액의 값을 구해보자.

#include <iostream>
#include <vector> 
#include <algorithm> 
#include <utility>
using namespace std;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

	int n;
	cin >> n; // 최대 10만 

	vector<int> v(n);
	for(int i = 0; i < n; i++){
		cin >> v[i]; // 오름차순 (각 원소는 최대 10억) 
	}

	int left = 0, right = n - 1; 
	int sum = 2e9; // 최대 20억 (0에 가장 가까운 값으로 갱신될 예정) 
	pair<int, int> p; // 합이 0에 가장 가까운 두 용액의 특성값 저장 
	
	// 양쪽에서 다가오는 투 포인터 
	while(left < right){
		int a = v[left];
		int b = v[right];
		
		if(abs(a + b) < sum){ 
			sum = abs(a + b); // 최솟값 갱신 
			p = { a, b }; // 쌍 갱신 
		}

		if(a + b < 0){ 
			left++; // 합을 늘리기 위해서  
		}else{
			right--; // 합을 줄이기 위해서 
		}
	}

	cout << p.first << " " << p.second << endl;

	return 0;
}

이진 탐색

이 문제를 이진 탐색으로도 풀 수 있다. 우선 C++ STL의 <algorithm> 헤더에서 제공하는, 이진 탐색 기반의 함수인 lower_bound, uppder_bound에 대해 알아보자.

lower_bound(first, last, value)

배열의 [first, last) 범위에서 value 이상의 값이 처음 등장하는 위치를 반환한다. 만약 배열의 모든 원소가 value보다 작다면, 마지막 원소 바로 다음 위치를 반환한다.

#include <iostream>
#include <algorithm> 
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{ 
	vector<int> arr1 = { -5, -1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 5 };
	int arr2[] = { -5, -1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 5 };

	auto iter = lower_bound(arr1.begin(), arr1.end(), 1);
	int index = iter - arr1.begin();
	cout << index << " " << arr1[index] << "\n"; // 3 1 

	auto iter2 = lower_bound(arr1.begin(), arr1.end(), 6);
	int length = iter2 - arr1.begin(); 
	cout << (iter2 == arr1.end()) << " " << length << "\n"; // true 10 

	int size = sizeof(arr2) / sizeof(int);
	
	int* iter3 = lower_bound(arr2, arr2 + size, 1);
	int index3 = iter3 - arr2; // 배열명은 배열의 시작 주소를 가리키는 포인터 
	cout << index3 << " " << *iter3 << "\n"; // 3 1 

	int* iter4 = lower_bound(arr2, arr2 + size, 6);
	int _length = iter4 - arr2;
	cout << (iter4 == arr2 + size) << " " << _length << "\n"; // true 10 
	
	return 0;
}

upper_bound(first, last, value)

배열의 [first, last) 범위에서 value 보다 큰 값이 처음 등장하는 위치를 반환한다. 만약 배열의 모든 원소가 value보다 작다면, 마지막 원소 바로 다음 위치를 반환한다.

#include <iostream>
#include <algorithm> 
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{ 
	vector<int> arr1 = { -5, -1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 5 };
	int arr2[] = { -5, -1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 5 };

	auto iter = upper_bound(arr1.begin(), arr1.end(), 1);
	int index = iter - arr1.begin();
	cout << index << " " << arr1[index] << "\n"; // 5 2 

	auto iter2 = upper_bound(arr1.begin(), arr1.end(), 5); 
	int length = iter2 - arr1.begin(); 
	cout << (iter2 == arr1.end()) << " " << length << "\n"; // true 10 

	int size = sizeof(arr2) / sizeof(int);
	
	int* iter3 = upper_bound(arr2, arr2 + size, 1);
	int index3 = iter3 - arr2;  
	cout << index3 << " " << *iter3 << "\n"; // 5 2 

	int* iter4 = upper_bound(arr2, arr2 + size, 5);
	int _length = iter4 - arr2;
	cout << (iter4 == arr2 + size) << " " << _length << "\n"; // true 10 
	
	return 0;
}

용액 문제 풀기

투 포인터에서 왼쪽 포인터는 외부 루프에 고정시켜놓고, 오른쪽 포인터는 내부 루프에서 이진 탐색으로 찾아도 된다. 근데 이렇게 풀면 시간복잡도가 O(n)에서 O(nlogn)으로 늘어난다.

#include <iostream>
#include <algorithm> 
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{ 
	ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

	int n; 
	cin >> n;

	vector<int> v(n);
	for(int i = 0; i < n; i++){
		cin >> v[i]; // 오름차순 입력 
	} 

	int left, right; 
	int sum = 2e9; // 0에 가장 가까운 값으로 갱신될 예정 

	for(int i = 0; i < n; i++){
		// (i+1)부터 마지막 원소 중에
		// -v[i] 이상의 값이 처음으로 등장하는 위치 반환  
		int idx = lower_bound(v.begin() + i + 1, v.end(), -v[i]) - v.begin(); 

		if(idx != n && v[i] + v[idx] == 0){
			left = i;
			right = idx;
			break; 
		}

		for(int j = -2; j <= 0; j++){
			if(i < idx + j &&   // 왼쪽 포인터의 범위 체크 
				idx + j < n &&  // 오른쪽 포인터의 범위 체크 
				abs(v[i] + v[idx + j]) < abs(sum)){ 
				sum = v[i] + v[idx + j]; // 최솟값 갱신
				left = i; 
				right = idx + j; 
			}
		}
	}

	cout << v[left] << " " << v[right]; 
	
	return 0;
}