이산확률변수 기댓값(평균)

이산확률변수 기댓값(평균) 정리

• 확률변수 기댓값 공식
  $\mu = E(X) = \sum_{x_i} x_iP(X=x_i)$

  $X= x_i$	$x_i= 1$	$x_i=2$	$x_i=3$	$x_i=4$	$x_i=5$	$x_i=6$
  $P(X=x_i)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

  위는 주사위를 굴렸을 때 나올수 있는 수와 그의 확률입니다. 이를 이용하여 기댓값을 구해보세요
  풀이)
  기대값 공식에 수치를 대입해 보자!
  $\mu = E(X) = \sum_{x_i} x_iP(X=x_i)$
  $=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+x_3P(X=x_3)+x_4P(X=x_4)+x_5P(X=x_5)+x_6P(X=x_6)$
  $= 1\times \frac{1}{6} + 2\times \frac{1}{6} + 3\times \frac{1}{6}+ 4\times \frac{1}{6}+ 5\times \frac{1}{6}+6\times \frac{1}{6}$
  $= \frac{1}{6} \times \sum_{i=1}^{n=6} n$
  $= \frac{1}{6} \times \frac{6(6+1)}{2} = \frac{21}{6}$ = 3.xx

  따라서 3.xx는 주사위를 반복적으로 굴렸을 때 나올수 있는 확률

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활용 문제

문제 1.

세 개의 동전을 던져서 모두 앞면이나 모두 뒷면이 나오면 500원을 받게 되고, 앞면의 수가 1개 또는 2개일 경우 300원을 내야 하는 게임을 할 때, 참가자가 기대할 수 있는 금액은 얼마인가?

문제 풀이

X= 돈의 액수
Y = 앞면의 갯수

X= 500 인 경우: Y=3, Y=0
X= -300 인 경우: Y=1, Y=2

$P(X=500) = P(Y=3) +P(Y=1) = \frac{1}{8}+ \frac{1}{8} = \frac{2}{8}$
$P(X=-300) = P(Y=1) +P(Y=2) = \frac{3}{8}+ \frac{3}{8} = \frac{6}{8}$

$\mu = E(X) = \sum_{x_i} x_iP(X=x_i)$

$= x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)$

$= 500P(X=500)+300P(X=300)$

$= 500\times \frac{2}{8}+ -300\times \frac{6}{8} = -100$

따라서 게임을 한번 할때 평균 100원을 잃을 것으로 예상함

문제 2.

휴고는 3달러짜리 긁는 복권을 사려합니다.
3달러짜리 긁는 복권에 당첨되면 당첨금으로 50달러를 받습니다.
복권 사이트에 따르면, 긁는 복권의 2% 당첨 된다고 할 때, 긁는 복권의 기댓값을 구하시오.

문제 풀이

X= 복권 금액
Y = 복권 당첨여부

X= $47 (당청금-복권금액) 인 경우: Y= 당첨
X= -$3 인 경우: Y= 꽝

$P(X=47) = P(Y=당첨)= \frac{2}{100}$
$P(X=-3) = P(Y=꽝)= \frac{98}{100}$

$\mu = E(X) = \sum_{x_i} x_iP(X=x_i)$
$= x_1P(X=x_1)+ x_1P(X=x_1)$
$= 47P(X=당첨)+ -3P(X=꽝)$
$= 47\times \frac{2}{100}+ -3\times \frac{98}{100} = -2$

따라서 복권을 한번 살때 마다 평균 -2달러를 잃을 것으로 예상함

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참고 자료

• https://ko.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library/random-variables-discrete/e/expected_value
• https://ko.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library/random-variables-discrete/e/mean-expected-value-discrete-random-variable