[확률/통계] 베이즈 정리(Bayess' Theorm)

베이즈 정리

• 베이즈 정리를 사용하는 이유
  구하기 어려운 확률을 쉬운 확률을 사용하여 구하기 위함
• 베이즈 정리 공식
  $P(A|B) = \frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}$
  $P(A|B) = \frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)}$

활용 문제

문제 1

당신은 지금 시애틀행 비행기를 기다리고 있다. 시간을 때우기 위해 당신은 시애틀에 사는 3명에 친구에게 전화를 건다. 각각의 친구에게 당신은 현재 비가 오는지 묻는다.
3명 모두 “비가 오고 있다” 라고 답한다.
3명의 친구는 모두 동일하게 1/3확률로 거짓말을 하고 2/3확률로 진실은 말한다.
지금 시애틀에 정말로 비가 오고 있을 확률은 얼마인가?

문제 풀이

시애틀에 비가 올 확률= A
친구 3명이 모두 비가 온다고 했을때 확률 = B

**변수를 베이즈 공식에 넣어보자!
$P(A|B) = \frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)}$

$P(A)$ = 시애틀에 비가 올 확률
$P(A^c)$ = 시애틀에 비가 오지 않을 확률 (이수치는 정확히 모름)
$P(B|A)$ = 시애틀에 비가 올때, 친구 3명이 모두 비가 온다고 말할 확률 = 셋다 진실을 말할 확률 = $(\frac{2}{3})^3$
$P(B|A^c)$ = 시애틀에 비가 오지 않을때, 친구 3명이 모두 비가 온다고 말할 확률 = 셋다 거짓말을 말할 확률