Medical Image Registration - Transformation matrix in 2D

1. Transformation

1) Translation

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} t_x\\t_y \end{bmatrix}$

2) Rotation

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$

3) Scaling

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$

4) Shearing

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$

5) Rigid transformation

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} t_x\\t_y \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix}$

6) Similarity transformation

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s\cos\theta & -s\sin\theta \\ s\sin\theta & s\cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} t_x\\t_y \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix}$

7) Affine transformation

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} e\\f \end{bmatrix}$

2. Pseudo Inverse

대응되는 $(x, y)$, $(x', y')$이 주어졌을 때, transformation의 parameter를 찾기 위해 pseudo inverse를 이용한다.

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix}$

$a=s\cos\theta$

$b=s\sin\theta$

위 식을 $(x', y')$에 대해 정리하면 식은 다음과 같다.

$x'=ax-by+c$

$y'=bx+ay+d$

만약 $n$개의 대응되는 $(x, y)$, $(x', y')$이 주어졌을 때, 다음과 같이 식을 표현할 수 있다.

$\begin{bmatrix} x_1 & -y_1 & 1 & 0 \\ y_1 & x_1 & 0 & 1 \\ x_2 & -y_2 & 1 & 0 \\y_2 & x_2 & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_n & -y_n & 1 & 0 \\ y_n & x_n & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1' \\ y_1' \\ x_2' \\ y_2' \\ \vdots \\ x_n' \\ y_n' \end{bmatrix}$

위 식을 치환하면 $AX=B$로 간단하게 표현할 수 있으며 $A$의 역행렬이 존재하면 transformation parameter $X$를 구할 수 있게 된다.

이 때, $A$는 정방행렬이 아니므로 일반적인 방법으로는 역행렬을 구할 수 없다. 그러므로 pseudo inverse로 근사 값의 역행렬을 구한다.

$X=A^{+}B$

$X=(A^TA)^{-1}A^TB$

만약 $(A^TA)$의 역행렬도 존재하지 않는다면 SVD를 이용한다.

$A=U\sum V^T$

$U\sum V^TX=B$

$(V\sum^+U^T)(U\sum V^T)X=(V\sum^+U^T)B$

$X=(V\sum^+U^T)B$

Affine transformation도 동일하게 pseudo inverse로 transformation parameter를 구할 수 있다.

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} e\\f \end{bmatrix}$

$x'=ax+by+e$

$y'=cx+dy+f$

$\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & x_1 & y_1 & 0 & 1 \\ x_2 & y_2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & x_2 & y_2 & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ x_n & y_n & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & x_n & y_n & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\e \\ f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1' \\ y_1' \\ x_2' \\ y_2' \\ \vdots \\ x_n' \\ y_n' \end{bmatrix}$

$X=A^{+}B$

$X=(A^TA)^{-1}A^TB$

3. Transformation Matrix

1) Translation

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2) Rotation

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3) Scaling

$\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4) Shearing

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5) Similarity transformation

$\begin{bmatrix} x'\\y' \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & -b & c \\ b & a & d \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix}$

6) Affine transformation

$\begin{bmatrix} x'\\y' \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b & e \\ c & d & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix}$