Ch2-6.Basis and Rank

Generating Set and Basis

벡터공간 $V$ = $($V$, +, ⋅)$와 벡터집합 A = {$x_1, ...., x_k$} ⊆ V에서 V에 속하는 모든 벡터 $v$가 A의 벡터들의 선형결합으로 표현될 때 집합 A를 $V$의 생성집합이라고 하며 A에 속하는 벡터들의 모든 선형결합 집합을 A의 span이라고 부른다. 만약 $A$ 를 벡터 공간 $V$ 로 span한다면, $V=span[A]$

Generating sets는 vector (sub)spaces로 span하는 벡터 집합입니다. 즉, generating sets의 모든 벡터는 해당 벡터들의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

$B⊆A⊆V$이면서 $V$를 span하는 가장 작은 집합 B가 존재하지 않는다면 $A$를 minimal이라 하며 $V$의 선형독립인 모든 생성집합은 minimal이며 이를 기저(basis)라 한다.

아래의 문장들은 모두 같은 의미다.

$B$는 $V$의 기저이다.
$B$ 는 최소 크기의 생성집합이다.
$B$ 는 $V$에 속하는 벡터들이 선형독립이 되는 최대 크기의 집합이다. 즉, 이 집합에 다른 어떠한 벡터를 더하면 선형 종속이 됩니다.
$x$∈$V$ 인 모든 벡터 $x$ 는 $B$ 에 대한 선형 결합이고 모든 선형 결합은 유일합니다.

기저는 유일하지 않으며 모든 기저는 같은 수의 요소를 가지는데 이를 basis vector(기저 벡터)라고 한다.

유한한 차원의 벡터공간 $V$의 차원은 기저벡터의 수가 되며, 이를 dim($V$)라고 하며 $V$의 부분공간 $U$의 차원 dim($U$) $≤$ dim($V$)이며 $U = V$일 때 dim($U$) $=$ dim($V$)이다. 벡터공간의 차원은 독립적인 방향의 갯수라고 생각할 수 있다.

벡턱공간의 차원이 반드시 벡터의 요소 개수인 것은 아니다. 예를 들어, $V = span[[0, 1]^T]$ 는 1차원이지만 basis vector는 2개의 요소를 가지고 있다.

$U = span[x_1,..., x_m]$의 basis는 다음의 단계를 통해 찾을 수 있다.
1.spanning vectors를 행렬 A의 열로 둔다.
2.A의 row-echelon form을 결정합니다.
3.pivot columns과 연관된 spanning vectors가 U의 기저이다.

Rank

행렬 $A$에서 선형 독립인 열의 갯수는 선형 독립인 행의 수와 같고 이를 rank라고 하며 $rk(A)$로 표기한다.

행렬의 rank의 중요 속성들은 다음과 같다.
1. column rank는 row rank와 같다.
2. 행렬 $A$의 열은 $dim(U) = rk(A)$인 부분공간 $U$를 span한다. 이러한 부분공간은 image 또는 range라 부른다. $U$의 기저는 $A$에 대한 가우스 소거법으로 찾을 수 있으며 pivot columns와 동일하다. 행에 대해서도 똑같이 적용가능하다.
3. n X n행렬 A에 대해 $rk(A) = n$일 때만 $A$는 regular(invertible)이다.
4. $rk(A)=rk(A∣b)$이라면 선형연립방정식 $Ax=b$의 해를 구할 수 있다.
5. $A∈R^{m×n}$에 대해, $Ax=b$ 에 대한 부분공간의 solution의 차원은 $n−rk(A)$이다.이 부분공간을 kernel 또는 null space 라고 부른다.
6. rank가 같은 차원의 행렬 중에서 가질 수 있는 가장 큰 rank와 같을 때, 이 행렬을 full rank 라고 하며 이는 Full-rank matrix의 rank는 행의 갯수와 열의 갯수 중 더 작은 값, 즉, $rk(A)=min(m,n)$ 이라는 의미이다. 만약 full rank가 아니라면 그 행렬은 rank deficient 라고 부른다.