크루스칼 알고리즘 (Kruskal Algorithm)

신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 '최소 신장 트리 알고리즘'이라고 하는데, 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로는 크루스칼 알고리즘이 있다.

크루스칼 알고리즘을 사용하면 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있다.

• 크루스칼 알고리즘은 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이다.

• 그리디 알고리즘으로 분류된다.

그러면 신장 트리란 뭘까?

• 신장 트리란 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
  --> 이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 함.

최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree)는 또 뭐지?

크루스칼 알고리즘은 신장 트리 중에서도 최소한의 비용으로 만들 수 있는 최소 신장 트리를 찾는 알고리즘이다. 아래 그림을 통해 최소 신장 트리를 알아보자.

왼쪽 그래프에서 최소 신장 트리를 찾으면 25를 제외한 2개의 간선(23+13)으로 이루어진 신장 트리가 최소 신장 트리가 된다!

즉, 신장 트리의 조건을 만족하면서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리가 최소 신장 트리가 된다.

크루스칼 알고리즘 동작 과정

크루스칼 알고리즘의 구체적인 동작 과정은 아래와 같다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
   ① 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   ② 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다. (X)
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

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아래 그림을 통해 이해해보자.

[step 0] 그래프의 모든 간선 정보만 따로 빼내어 정렬을 수행한다.
(원래는 비용을 기준으로 오름차순 정렬을 한다.--> 최소한의 비용으로 MST를 만들기 위해서이다.)

[step 1] 비용이 가장 최소인 (3, 4)를 선택한 후 3번 노드와 4번 노드에 대하여 union 함수를 수행한다.

[step 2] 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (4, 7)을 선택하여 처리한다.

[step 3] 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (4, 6)을 선택하여 처리한다.

[step 4] 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (6, 7)을 선택하여 처리한다. 하지만 (6, 7)을 방문할 경우(연결할 경우(=union() 함수)) 사이클이 발생하므로 (6, 7) 간선을 연결하지 않는다.

[step 5] 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (1, 2)을 선택하여 처리한다.

[step 6] 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (2, 6)을 선택하여 처리한다.

[step 7] 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (2, 3)을 선택하여 처리한다. 하지만, (2, 3)을 연결할 경우에도 사이클이 발생하므로 연결하지 않는다.

[step 8] 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (5, 6)을 선택하여 처리한다.

[step 9] 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (1, 5)을 선택하여 처리한다. 마찬가지로 (1, 5)를 연결하면 사이클이 발생하므로 연결하지 않는다.

[최종 결과]

또한, 최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당한다. 위 예시에서는 총 비용이 159이다.

사진 출처 : 링크

크루스칼 알고리즘 코드 (Python)

크루스칼 알고리즘을 코드로 구현할 때, 앞서 배운 union-find 알고리즘을 이용하여 구현한다!

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find(parent, x):
    if parent[x] == x:
        return x
    parent[x] = find(parent, parent[x])
    return parent[x]


# 두 원소가 속한 집합을 합치기 (간선 연결한다고 생각!)
def union(parent, a, b):
    rootA = find(parent, a)
    rootB = find(parent, b)

    if rootA < rootB:
        parent[rootB] = rootA
    else:
        parent[rootA] = rootB


import sys

input = sys.stdin.readline
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)

edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 오름차순 정렬하기 위해 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

edges.sort()

for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함(=연결한다.)
    if find(parent, a) != find(parent, b):
        union(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

# sample input
# 7 9
# 1 2 29
# 1 6 75
# 2 3 35
# 2 6 34
# 3 4 7
# 4 6 23
# 4 7 13
# 5 6 53
# 6 7 25

• 시간 복잡도는 O(ElogE)
  크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다. 왜냐하면 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며, E개의 데이터를 정렬했을 때의 시간 복잡도는 O(ElogE)이기 때문이다. --> (Python에서 .sort()함수는 퀵 정렬을 기본으로 하며 퀵 정렬의 시간 복잡도는 O(NlogN)이다!)
  크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시한다.