Nonsquare matrices
square하지 않은 모양의 행렬에 대한 선형변환(Linear transformation)에 대하여 알아보겠습니다.
Meaning of rows
2*2 선형변환 매트릭스에서 각 컬럼은 기저벡터 i^ 와 j^ 가 향후 위치할 좌표를 나타냅니다.
i^=[10]j^=[01]
A=[acbd]
i^new=[ab]j^new=[cd]
하지만 만약 2 * 2가 아닌 3 * 2 매트릭스라면 어떨까요?
다음과 같은 선형변환 매트릭스 A를 가정해봅시다.
A=⎣⎢⎡2−1−2011⎦⎥⎤
알고있는 대로라면 기저벡터를 이동시키면 기저벡터 i^new 와 j^new 가 2차원을 넘어 3차원으로 이동하게 됩니다.
i^new=⎣⎢⎡2−1−2⎦⎥⎤j^new=⎣⎢⎡011⎦⎥⎤
따라서 3 * 2 매트릭스는 대상 매트릭스를 2차원에서 3차원으로 mapping하는 역할을 하게 됩니다.
여기서 그럼 3, row의 역할은 선형변환의 결과(output)의 랭크(차원)을 결정한다고 할 수 있습니다.
Meaning of columns
그렇다면 columns의 역할은 무엇일까요?
다음과 같은 2 * 3 선형변환 매트릭스 A를 봅시다.
A=[311549]
이 매트릭스의 형태를 보면 맵핑 후의 2랭크의 기저벡터가 세개여야 합니다
다만 이 매트릭스의 곱을 만족하려면 변환 전의 원 벡터는 3차원 즉 3랭크의 열벡터여야 한다는 것을 알 숭 있습니다.
다음과 같이 3차원의 임의의 열벡터 v를 가정해봅시다.
v=⎣⎢⎡abc⎦⎥⎤
그리고 선형변환을 취해보면 2*1 매트릭스가 나오는 것을 확인할 수 있습니다.
[311549]⎣⎢⎡abc⎦⎥⎤=[3a+b+4ca+5b+9c]
즉 columns의 역할은 반대로 선형변환 하기 전 원래 열벡터(input)의 랭크(차원)을 결정한 다는 것을 알 수 있습니다.
다시 말해서 row는 2, column은 3인 선형 매트릭스는 기존 3차원 열벡터를 2차원 열벡터로 변환시키는 것입니다.
References
[1] 3Blue1Brown - Essence of linear algebra
