Dot products

Dot product

Numerical understanding

먼저 벡터의 내적(dot product)가 어떻게 계산되는지 봅시다.
계산은 매우 간단합니다. 벡터의 내적을 위해서는 정확히 같은 차원의 두 벡터가 필요하며
같은 좌표 위치에 있는 성분끼리 곱해서 전부 합하면 됩니다.

Geometric interpretation

기하학적 의미를 살펴봅시다.
동일한 2차원의 벡터 $\overrightarrow{w}$와 $\overrightarrow{v}$ 가 있다고 가정해 봅시다.
벡터 $\overrightarrow{w}$를 $\overrightarrow{v}$으로 프로젝션한 후 각 길이만큼을 곱한 것과 같습니다.

즉 다음과 같은 공식이 성립합니다.

이와 같은 성질때문에
벡터의 내적은 원점을 기준으로 두 벡터 사이의 각($\theta$)에 따라 수직이면 0, 방향이 같은 방향이면 양(+)의 값, 다른 방향이면 음(-)의 값을 가집니다.

Duality

벡터의 선형변환(linear transformation)이 관점에서 보면 재미있는 연관관계가 나옵니다.
다음과 같은 2차원 벡터의 내적을 가정해 봅시다.

이는 벡터의 선형결합의 관점에서 다음과 같이 표현할 수도 있지 않을까요?

선형결합의 관점에서 본다면 기저벡터 $\hat{i}_{new}$ 과 $\hat{j}_{new}$ 가 각각 1차원 열벡터 $[2]$ 와 $[3]$에 위치하게 되므로 2차원 벡터를 1차원으로 맵핑시키는 결과를 가져옵니다.

근데 신기하게도 이는 벡터의 내적에 관점에서도 $\overrightarrow{u}$로 이루어진 1차원 선에 특정한 2차원 벡터(point)들을 투사(projection)하고 크기만큼 확장(scale) 것과 같습니다.

이렇게 서로 다른 수학적 개념이 하나로 이어지는 것을 Duality라고 합니다.

References

[1] 3Blue1Brown - Essence of linear algebra