Kadane 알고리즘: 최대 부분합(Subarray Sum) 문제 해결

📌 Kadane 알고리즘이란?

Kadane's Algorithm은 배열의 연속된 부분 배열(subarray) 중에서 최대 합을 찾는 알고리즘이다.

최대 부분합 문제 (Maximum Subarray Sum Problem)이라고도 한다.

이 알고리즘은 O(N)의 시간 복잡도로 실행되며, 가장 효율적으로 문제를 해결할 수 있다.

Divide & Conquer 방식으로도 해결할 수 있지만

DP 기반의 Kadane 알고리즘이 가장 빠르고 간단한 풀이방법이다.

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📌 문제 정의

배열이 주어졌을 때, 연속된 부분 배열 중에서 합이 가장 큰 값을 찾으시오.

🔹 예제 입력:

arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]

🔹 예제 출력:

6  # (부분 배열: [4, -1, 2, 1])

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📌 Kadane 알고리즘 개념 및 동작 원리

1. max_sum을 가장 작은 값으로 초기화한다.

2. current_sum을 0 으로 설정한 후 배열을 순회하며 현재값 num을 더한다.

3. current_sum이 max_sum보다 크면 갱신한다.

4. current_sum이 0 보다 작아지면 0 으로 리셋한다.

   • Why??

     current_sum이 0 보다 작다면, 즉 currnet_num이 음수라면

     다음 값인 num을 더 해도 num보다 클 수 없다.

5. 위와 같이 배열을 끝까지 탐색한다면, max_sum이 최대 부분합이다.

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📌 Kadane 알고리즘 구현 (Python)

def max_subarray_sum(arr):
    max_sum = float('-inf')  # 최댓값 저장 (초기값: 음의 무한대)
    current_sum = 0  # 현재 부분합

    for num in arr:
        current_sum += num  # 현재 원소를 더함
        max_sum = max(max_sum, current_sum)  # 최댓값 갱신
        if current_sum < 0:  # 음수가 되면 초기화
            current_sum = 0

    return max_sum

# 테스트
arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
print(max_subarray_sum(arr))  # 결과: 6

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📌 Kadane 알고리즘 예제 분석

인덱스	현재 원소	부분합 (current_sum)	최대 부분합 (max_sum)
0	-2	-2 (0으로 초기화)	-2
1	1	1	1
2	-3	-2 (0으로 초기화)	1
3	4	4	4
4	-1	3	4
5	2	5	5
6	1	6	6
7	-5	1	6
8	4	5	6

✅ 결과: [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]의 최대 부분합 = 6

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📌 Kadane 알고리즘 확장: 최대 부분 배열 찾기

아래와 같이 인덱스를 같이 저장을 한다면, 부분합뿐만 아니라

최대 부분 배열 자체를 찾을 수 있다.

def kadane_with_subarray(arr):
    max_sum = float('-inf')
    current_sum = 0
    start = end = s = 0

    for i, num in enumerate(arr):
        current_sum += num

        # max_sum = max(max_sum, current_sum)  # 기존 코드
        if current_sum > max_sum:
            max_sum = current_sum
            start, end = s, i  # 최댓값이 갱신될 때마다 시작, 끝 인덱스 갱신

        if current_sum < 0:
            current_sum = 0
            s = i + 1  # 새로운 부분합을 시작할 위치 저장

    return max_sum, arr[start:end+1]

# 테스트
arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
print(kadane_with_subarray(arr))  # (6, [4, -1, 2, 1])

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📌 시간 복잡도 분석

• 시간 복잡도: O(N) (한 번의 순회만 수행)
• 공간 복잡도: O(1) (추가 메모리 사용 없음)

이는 가장 효율적인 선형 시간 알고리즘으로, 면접에서도 자주 등장하는 개념이다. 🚀

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📌 확장 문제 및 응용 사례

1. 주식 최대 이익 문제 (Best Time to Buy and Sell Stock)

   • Kadane 알고리즘을 변형하여, 주가 변동을 분석하는 문제 해결 가능

2. 2D 배열에서 최대 부분합 찾기 (Kadane's Algorithm in 2D)

   • 행렬에서 최대 합을 갖는 부분 행렬 찾기

3. 최대 연속 곱 (Product)

   • max_product = max(max_product * num, num) 방식으로 변형 가능

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📌 정리

✅ Kadane 알고리즘은 DP를 활용하여 최대 부분합을 찾는다.

✅ current_sum을 유지하면서 0보다 작아지면 초기화를 하는 것이 핵심이다.

✅ 부분 배열을 찾고 싶다면 인덱스를 추가하여 추적하면 된다.