다익스트라 최단 경로 알고리즘

최단 경로 문제

최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미함
다양한 문제 상황
한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
각 지점은 그래프에서 노드로 연결된 도로는 간선으로 표현

다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복한다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘 동작과정

1. 출발 노드 설정
2. 최단 거리 테이블 초기화
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신
5. 3번과 4번을 반복한다
   알고리즘 동작 과성에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.
   처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 그 경로가 가장 짧은 경로로 갱신된다.

다익스트라 알고리즘의 특징

그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되며 더 이상 바뀌지 않는다.
한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해가능
다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.

다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인한다

다익스트라 알고리즘구현

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘 : 시간복잡도

총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형탐색해야 한다
따라서 전체 시간복잡도는 O(V^2)이다.

우선순위 큐

우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
스택은 가장 나중에 삽입된 데이터가 가장 먼저 추출되고
큐는 가장 먼저 삽입된 데이터가 가장 먼저 추출되고
우선순위 큐는 가장 우선순위가 높은 데이터가 먼저 추출된다.

힙

우선순위 큐를 구현하기 위해 사용되는 자료구조 중 하나이다.
최소 힙과 최대 힙이 있다.
리스트는 삽입 시간이 O(1) 삭제시간이 O(N)
힙은 삽입시간이 O(logN) 삭제시간이 O(logN)

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현방법

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조를 이용한다

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현방법 시간복잡도

힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간복잡도는 O(ElogV)이다.

플로이드 워셜 알고리즘

모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다
플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
a에서b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.
점화식은 다음과 같다

플로이드 워셜 알고리즘 구현

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

플로이드 워셜 알고리즘 성능

노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행한다
각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.
따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3) 이다.

전보 문제

import sys
import heapq

n,m,c = map(int,sys.stdin.readline().split())

inf = sys.maxsize

graph = [[] for _ in range(n+1)]

distance = [inf] * (n+1)

for _ in range(m):
    x,y,z = map(int,sys.stdin.readline().split())
    graph[x].append((y,z))

def dijkstra(c):
    queue = []
    heapq.heappush(queue,(0,c)) # 큐에다가 시작 노드를 0으로 만들어서 삽입한다.
    distance[c] = 0 # 시작노드까지의 거리는 0으로 초기화

    while queue: 
        dist,now = heapq.heappop(queue) 
        if distance[now] < dist: 
            continue

        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]

            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(queue,(cost,i[0]))

dijkstra(c)

cnt = 0 # 탐색 가능한 노드의 개수

result = [] # 최대값 저장을 위한 배열

for i in distance:
    if i != inf:
        cnt += 1
        result.append(i)

print(cnt-1,max(result)) # 시작노드제외

미래 도시 문제

import sys

inf = sys.maxsize

n,m = map(int,sys.stdin.readline().split())

graph = [[inf for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]

for i in range(n+1):
    for j in range(n+1):
        if i == j:
            graph[i][j] = 0
        

for _ in range(m):
    a,b = map(int,sys.stdin.readline().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

x,k = map(int,sys.stdin.readline().split()) # k번 회사를 x번 거쳐가는 최소 이동시간

for k in range(1,n+1): # floyd warshall 알고리즘
    for a in range(1,n+1):
        for b in range(1,n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b],graph[a][k] + graph[k][b])

dist = graph[1][k] + graph[k][x]

print(dist)

출처 : https://freedeveloper.tistory.com/277?category=888096