정상상태 전류 5-4 전자기학의 연속방정식 및 응용

전자기학에서 연속방정식

• 유체역학에서 연속방정식을 해본 적 있지만, 전자기학의 방식대로 전하에 대한 연속방정식을 유도해보겠다.

전하 보존의 법칙

어떤 시스템의 $\Delta$V 영역에 시간에 따른 전하의 축척되는 양을 생각해보자. (the rate of accumulation)

체적 V내의 총 전하량은 전류에 의한 유출량과 부호는 반대고 값은 같을 것이다.

전기장에서 연속방정식은 전기장이 존재하는 공간에 있는 이동전하의 시간에 따른 변화와 공간적 분포에 대한 식이다.

정상상태의 전류

• 정상상태이면 전하밀도의 시간에 따른 변화가 없으므로 다음을 만족한다.
• $\nabla \cdot \mathbf{J}=0$

어떤 벡터 Field가 Divergenceless이면 그 벡터장을

• solenoidal vector field
• incompressible vector field
• divergence-free vector field

등으로 부른다

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• $\nabla \cdot \mathbf{J}=\oint_s\mathbf{J}\cdot d\mathbf{s} = 0$

Divergenceless라는 것은 정상상태 전류의 Field Line 또는 Streamline은 그 자체로 돌아오도록 닫혀있다는 것이다.

이를 회로이론에 적용하면

$\displaystyle\sum_jI_j=0$

키르히호프의 전류법칙을 나타내는 식이다.

연속방정식의 응용

전자재료(도체/유전체) 내부에 전하가 주입되고 그에 따른 시간변화를 살펴보자.

경계조건은 $t_0$일 때, $\rho$=$\rho_0[C/m^3]$이다.

• Continuty Equation
  ** $\nabla\cdot \mathbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$

• Ohm's Law Point Form
  ** $\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$

• $\nabla\cdot \sigma\mathbf{E} =-\frac{\partial \rho}{\partial t}$

• $\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\sigma}{\epsilon}\rho=0$

이 편미분 방정식으로부터 얻은 해는 다음과 같다.

• $\rho=\rho _0\exp^{-(\sigma/\epsilon)t}$

이 때, $\tau=(\sigma/\epsilon)$를 완화시간(전하 소멸시간)이라고 하고 도체에서는 매우 짧은 시간에 전하가 표면으로 재분배 된다.
우수한 절연체에서는 전하 재분포에 며칠이 걸릴 수도 있다.

• 이전에 다뤘던 도체 내부에서의 $\rho=0$이 여기서 일관성있음이 보인다.