정전기장 3-7 분극에 의한 전위, 등가 전하 밀도

유전체의 특성은 이전 포스트에서 알아봤다.

분극 유전체에 의한 Electric Potential

전하쌍극자에 의한 전위

• $V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{r}}{r^3}$ 이므로,

• $dV(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{a}_R}{r^2} dv'$ 이다.

위 식에서 소스 좌표계에 대해 1/R의 변화율은 다음과 같다.

• $\nabla'(\frac{1}{R})=\frac{\mathbf{a}_R}{r^2}$

• 벡터 등가식을 이용하면 다음과 같다.
  $\nabla'\cdot(f\mathbf{A})=f\nabla'\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla'f$

  

• 어떤 분극벡터 $\mathbf{P}$가 주어졌을 때, 전위를 구하는 문제가 있다고 하면, 이는 $\rho_{ps}$와 $\rho_p$를 구하는 문제로 바뀔 수 있다.

• 즉, Surface Charge Density & Volume Charge Density 을 구한다.

Surface Charge Density $\rho_{ps}$

• 교재에서의 설명

nonpolar dielectric에서 elemental surface $\Delta$s를 생각해본다.
외부 전기장이 가해지면 거리 d로 구속 전하가 멀어진다.
$\Delta$s를 통과하는 총 전하$\Delta$Q는 nqd($\Delta$s)이다.

그런데 이 설명이 좀 이해가 안되어서 다른 설명으로 대체한다.
시간의 개념을 추가하여 Flux로 표현하려고 한다.

• 어떤 면 $\Delta$s를 $\Delta$t 동안 통과하는 시간당 전하량을 계산한다.
  이때 면 $\Delta s$는 외부 전기장 $\mathbf{E}$ 와 같은 방향으로 가정하고 시작함.
  
  
  $\Delta Q/\Delta t$ = 전하의 개수 $\times$ 전하량 $\times$ 전하의 속도 $\times$ $\Delta s$ 로 정의될 수 있을 것이다.
  그런데, 외부 전기장 $\mathbf{E}$가 가해지면 전하의 거리는 d가 된다.
  이를 단위시간을 이용하여 속도로 표현하면 $d/\Delta t$가 된다.
  양변에 $\Delta t$를 소거하면 동일한 결과가 나온다.
  
  
  따라서 $\Delta Q= nqd(\Delta$s) 이다.
  
  
• 일반적인 경우로 면과 $\mathbf{E}$가 수직하지 않는 경우
  
  
  $\Delta Q= nq(d\cdot \mathbf{a}_n)(\Delta$s)
  $\Delta Q= nq\mathbf{P}\cdot\mathbf{a}_n(\Delta$s)
  $\rho_{ps}=\frac{\Delta Q}{\Delta s}=\mathbf{P}\cdot\mathbf{a}_n$

> 여기서 가장 중요하다고 생각하는 것은 분극된 유전체는 등가 분극면전하밀도나 등가 분극체적밀도로 대체될 수 있다는 것이다.