[알고리즘] 최소 신장 트리 MST

💡 최소 신장 트리 MST(Minimum Spanning Tree)란?

    무향 연결 가중 그래프 G에서 간선의 가중치의 합이 최소인 신장 트리(Spanning Tree)

신장 트리: 그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리

💡 크루스칼 알고리즘 Kruskal's Algorithm

    탐욕적인 방법(greedy method) 을 이용하여 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것

• MST가 1) 최소 비용의 간선으로 구성됨 2) 사이클을 포함하지 않음 의 조건에 근거하여 각 단계에서 사이클을 이루지 않는 최소 비용 간선을 선택
• 간선 선택을 기반으로 하는 알고리즘
• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리와는 상관없이 무조건 최소 간선만을 선택하는 방법
• 그래프 내에 적은 숫자의 간선만을 가지는 ‘희소 그래프(Sparse Graph)’의 경우에 적합

1. 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
2. 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.
    - 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
    - 사이클을 형성하는 간선을 제외한다.
3. 해당 간선을 현재의 MST(최소 비용 신장 트리)의 집합에 추가한다.

추가하고자 하는 간선의 양끝 정점이 같은 집합에 속해 있는지를 먼저 검사해야 한다.
‘union-find 알고리즘’ 이용

union-find 포스팅

• 시간복잡도: O(n^2)

참고링크

💡 프림 알고리즘 Prim's Algorithm

    시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장 해나가는 방법

• 정점 선택을 기반으로 하는 알고리즘
• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리를 확장하는 방법
• 그래프에 간선이 많이 존재하는 ‘밀집 그래프(Dense Graph)’ 의 경우에 적합

1. 시작 단계에서는 시작 정점만이 MST(최소 비용 신장 트리) 집합에 포함된다.
2. 앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.
    - 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.

위의 과정을 트리가 (N-1)개의 간선을 가질 때까지 반복한다.

• 시간복잡도: O(n^2)

참고링크