[01904] 01타일

그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.

우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.

입력

첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000)

출력

첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.

코드

#include <iostream>

using namespace std;

/* 조건 */
#define MAXINPUT 1000001
const int devisor = 15746;

/* 변수 */
int N;
int memo[MAXINPUT] = {0, };

/* 함수 */
int func(int n) {
    if(memeo[n] == 0) {
        memo[n] = (func(n - 1) + func(n - 2)) % devisor;
    }
    return memo[n] % devisor;
}

int main() {
    /* Fast cin cout */
    ios_base :: sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    /*****************/

    /* 입력 */
    cin >> N;
    memo[1] = 1;
    memo[2] = 2;

    /* 풀이 */
    cout << func(N);
}

풀이과정

수학적 풀이

우선 어떤 형태로 진행이 되는지 직접 해보면 아래와 같은 결과가 나온다.

N = 1 (1개)
- 1
N = 2 (2개)
- 11
- 00
N = 3 (3개)
- 001
- 111
- 100
N = 4 (5개)
- 0011
- 0000
- 1001
- 1111
- 1100
N = 5 (8개)
- 00001
- 00111
- 00100
- 10011
- 10000
- 11001
- 11111
- 11100

직접 구해본 결과 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 의 형태로 나타나며, 점화식으로 나타내보면 아래와 같다.

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

위의 규칙을 보고 aₙ의 값을 aₙ₋₁와 aₙ₋₂에서 00과 1을 추가하는 형태로 구할 수 있을 것 같아 찾아보니
aₙ₋₂의 앞에는 00을 추가하고
aₙ₋₁의 앞에는 1을 추가하면
aₙ의 값들이 나온다

~~혹시나 이 글을 읽는 사람 중 이해가 안된다면 직접 해보자~~
~~읽는 사람은 있는거냐~~

함수

int func(int n)
- 우선 N = 1인 경우와 N = 2인 경우는 OutOfBounds 런타임에러가 발생할 수 있기 때문에, main함수에서 memo[1]과 memo[2]를 채워주어 문제가 생기지 않게 했다.
- 이후 memo[n]이 채워져있지 않으면, func(n - 1)과 func(n - 2)를 실행해 n에 대한 값을 구한다. 이 때, 동적계획법 memoization을 이용해 한 번 구한 값에 대해서는 memo[n]에 저장하여 불필요한 반복을 줄여주었다.
- 이 문제의 조건에서 답이 정수형 int의 범위를 넘기때문에 15746으로 나눈 나머지를 출력해야 하기 때문에 return값을 15746으로 나눠주었다.
  (나머지 연산은 덧셈연산을 해도 결과가 같다.)