기저 변환 - Change of basis

$L : V \rarr V$를 벡터 공간 $V$에서의 선형 연산자라고 하자.
$A$는 $V$의 기저 $\mathbf a_1, \mathbf a_2, ... , \mathbf a_n$에 대한 $L$의 행렬이다.
$B$는 $V$의 또다른 기저 $\mathbf b_1, \mathbf b_2, ..., \mathbf b_n$에 대한 $L$의 행렬이다.
$U$는 기저 $\mathbf a_1, \mathbf a_2, ... , \mathbf a_n$에서 $\mathbf b_1, \mathbf b_2, ..., \mathbf b_n$로의 변환 행렬이다.

모든 $\mathbf x \in \mathbb R^n$에 대해 다음과 같은 식이 성립한다.

$UA\mathbf x=BU\mathbf x \Rarr UA = BU$

즉, $A = U^{-1}BU$ 또는 $B = UAU^{-1}$.

예제.

다음과 같은 선형 연산자 $L : \mathbb R^2 \rarr \mathbb R^2$가 있다.

$L\begin{pmatrix}\mathbf x\\\mathbf y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\;\;1\\0\;\;1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf x\\\mathbf y\end{pmatrix}$

기저 $\mathbf v_1 = (3, 1), \mathbf v_2=(2, 1)$에 대한 $L$의 행렬을 찾아라.

표준 기저에 대한 $L$의 행렬을 $S$라고 하자.

$S = \begin{pmatrix}1\;\;1\\0\;\;1\end{pmatrix}$

$U$는 기저 $\mathbf v_1, \mathbf v_2$에서 표준 기저 $\mathbf e_1, \mathbf e_2$로의 변환 행렬이다.

$U = \begin{pmatrix}3\;\;2\\1\;\;1\end{pmatrix}$

기저 $\mathbf v_1, \mathbf v_2$에 대한 $L$의 행렬을 $N$이라고 하자.

그러면 $N=U^{-1}SU$가 성립한다.

$N = U^{-1}SU = \begin{pmatrix}\;\;1\;-2\\-1\;\;\;3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\;\;1\\0\;\;1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\;\;2\\1\;\;1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\;2\;\;\;1\\-1\;\;0\end{pmatrix}$

즉, 우리가 알고 있는 것은 표준 기저에 대한 $L$의 행렬이다.
주어진 기저에 대한 $L$을 수행한 결과를 알기 위해서는
1. 해당 기저에서 표준 기저로 변환을 수행한 후 $(U)$,
2. 표준 기저에 대한 $L$을 수행한 후 $(N)$,
3. 그 결과의 기저를 다시 주어진 기저로 변환하는 과정을 거쳐야한다$(U^{-1})$.
이 과정의 합성을 다음과 같이 표현할 수 있는 것이다.

$N = U^{-1}SU$
(행렬변환은 오른쪽부터 순서대로 쓰는 것을 기억하자.)

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<참고자료>
Steve J. Leon, Linear Algebra with Application, 10th edition, 2021.