예제 풀이 - 선형 변환

예제 1.

다음과 같은 선형 연산자 $L$이 2×2 행렬의 벡터 공간에 있다.

$L\begin{pmatrix}x\;\;y\\z\;\;w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\;\;2\\3\;\;4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\;\;y\\z\;\;w\end{pmatrix}$

기저 $E_1, E_2,E_3,E_4$에 대한 $L$의 행렬을 찾아라.

$E_1=\begin{pmatrix}1\;\;0\\0\;\;0\end{pmatrix},E_2=\begin{pmatrix}0\;\;1\\0\;\;0\end{pmatrix},E_3=\begin{pmatrix}0\;\;0\\1\;\;0\end{pmatrix},E_4=\begin{pmatrix}0\;\;0\\0\;\;1\end{pmatrix}$

풀이.

$M_L$을 우리가 찾으려는 행렬이라고 하자.
정의에 따라서 $M_L$은 $L(E_1),L(E_2),L(E_3),L(E_4)$의 기저 $E_1, E_2, E_3, E_4$에 대한 좌표 벡터를 열로 가지는 4×4 행렬이다.

$M_L = [[L(E_1)]_E,[L(E_2)]_E,[L(E_3)]_E,[L(E_4)]_E]$

$L(E_1) = \begin{pmatrix}1\;\;2\\3\;\;4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\;\;0\\0\;\;0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\;\;0\\3\;\;0\end{pmatrix}\Rarr[1,0,3,0]^T$

$L(E_2) = \begin{pmatrix}1\;\;2\\3\;\;4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\;\;1\\0\;\;0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\;\;1\\0\;\;3\end{pmatrix}\Rarr[0,1,0,3]^T$

$L(E_3) = \begin{pmatrix}1\;\;2\\3\;\;4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\;\;0\\1\;\;0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\;\;0\\4\;\;0\end{pmatrix}\Rarr[2,0,4,0]^T$

$L(E_4) = \begin{pmatrix}1\;\;2\\3\;\;4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\;\;0\\0\;\;1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\;\;2\\0\;\;4\end{pmatrix}\Rarr[0,2,0,4]^T$

$\therefore$ $M_L = \begin{pmatrix}1\;\;0\;\;2\;\;0\\0\;\;1\;\;0\;\;2\\3\;\;0\;\;4\;\;0\\0\;\;3\;\;0\;\;4\end{pmatrix}$

이 결과는 다음과 같은 동치관계를 의미한다.

$\begin{pmatrix}x_1\;\;y_1\\z_1\;\;w_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\;\;2\\3\;\;4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\;\;y\\z\;\;w\end{pmatrix}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\w_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\;\;0\;\;2\;\;0\\0\;\;1\;\;0\;\;2\\3\;\;0\;\;4\;\;0\\0\;\;3\;\;0\;\;4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}$

예제 2.

다음과 같은 선형 연산자 $L : \mathbb R^2 \rarr \mathbb R^2$가 있다.

$L\begin{pmatrix}\mathbf x\\\mathbf y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\;\;1\\0\;\;1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf x\\\mathbf y\end{pmatrix}$

기저 $\mathbf v_1 = (3, 1), \mathbf v_2=(2, 1)$에 대한 $L$의 행렬을 찾아라.

풀이 1. 행렬 변환을 사용한 풀이

$N$을 우리가 찾을 행렬이라고 하자.
행렬 $N$의 열들은 기저 $\mathbf v_1, \mathbf v_2$에 대한 $L(\mathbf v_1)$과 $L(\mathbf v_2)$의 좌표 벡터이다.

$L(\mathbf v_1) = \begin{pmatrix}1\;\;1\\0\;\;1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$

$L(\mathbf v_2) = \begin{pmatrix}1\;\;1\\0\;\;1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$

$L(\mathbf v_1) = \alpha\mathbf v_1 + \beta\mathbf v_2 \Longleftrightarrow \begin{cases}3\alpha+2\beta=4\\\alpha+\beta=1\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}\alpha = 2\\\beta = -1\end{cases}$

$L(\mathbf v_2) = \mathbf v_1 = 1\mathbf v_1 + 0\mathbf v_2$

$\therefore N=\begin{pmatrix}\;\;2\;\;1\\-1\;\;0\end{pmatrix}$

풀이 2. 기저 변환을 사용한 풀이

표준 기저에 대한 $L$의 행렬을 $S$라고 하자.

$S = \begin{pmatrix}1\;\;1\\0\;\;1\end{pmatrix}$

$U$는 기저 $\mathbf v_1, \mathbf v_2$에서 표준 기저 $\mathbf e_1, \mathbf e_2$로의 변환 행렬이다.

$U = \begin{pmatrix}3\;\;2\\1\;\;1\end{pmatrix}$

기저 $\mathbf v_1, \mathbf v_2$에 대한 $L$의 행렬을 $N$이라고 하자.

그러면 $N=U^{-1}SU$가 성립한다.

$N = U^{-1}SU = \begin{pmatrix}\;\;1\;-2\\-1\;\;\;3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\;\;1\\0\;\;1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\;\;2\\1\;\;1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\;2\;\;\;1\\-1\;\;0\end{pmatrix}$

예제 3.

$D$는 $P_3$에 대한 미분 연산자이다.
표준 기저 $\{1, x, x^2\}$에 대한 $D$의 행렬 $B$와 기저 $\{1, 2x, 4x^2-2\}$에 대한 $D$의 행렬 $A$를 구하여라.

풀이.

$D(1) = 0\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2 \Rarr [0,0,0]^T$
$D(x) = 1\cdot1 +0\cdot x +0\cdot x^2 \Rarr [1,0,0]^T$
$D(x^2) = 0\cdot 1 + 2\cdot x+0\cdot x^2 \Rarr [0,2,0]^T$

$\therefore B = \begin{pmatrix}0\;\;1\;\;0\\0\;\;0\;\;2\\0\;\;0\;\;0\end{pmatrix}$

$D(1) = 0\cdot 1+0\cdot 2x+0\cdot (4x^2-2) \Rarr [0,0,0]^T$
$D(2x) = 2\cdot1 +0\cdot 2x +0\cdot (4x^2-2) \Rarr [2,0,0]^T$
$D(4x^2-2) = 0\cdot 1 + 4\cdot 2x+0\cdot (4x^2-2) \Rarr [0,4,0]^T$

$\therefore A = \begin{pmatrix}0\;\;2\;\;0\\0\;\;0\;\;4\\0\;\;0\;\;0\end{pmatrix}$

$\{1, 2x, 4x^2-2\}$에서 $\{1, x, x^2\}$로의 기저 변환 행렬을 $S$라고 할 때

$S = \begin{pmatrix}\;1\;\;\;0\;-2\\0\;\;\;2\;\;\;\;0\\0\;\;\;0\;\;\;\;4\end{pmatrix}$

$S^{-1}=\begin{pmatrix}\;\;1\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;1/2\\0\;\;\;\;1/2\;\;\;\;\;0\\\;\;0\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;1/4\end{pmatrix}$이고,

$A = S^{-1}BS$이므로 $A$와 $B$는 유사(similar) 행렬이다.

예제 4.

$L(\mathbf x)=A\mathbf x$로 정의된 $L$은 $\mathbb R^3$에서 $\mathbb R^3$으로의 사상인 선형 연산자이다.
여기서 $A$는 다음과 같다.

$A=\begin{pmatrix}2\;\;2\;\;0\\1\;\;1\;\;2\\1\;\;1\;\;2\end{pmatrix}$

행렬 $A$는 기저 $\{\mathbf e_1,\mathbf e_2, \mathbf e_3\}$에 대한 $L$의 행렬 표현이다.
기저 $\{\mathbf y_1, \mathbf y_2, \mathbf y_3\}$에 대한 $L$을 표현하는 행렬을 구하여라.

$\mathbf y_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\;\mathbf y_2=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix},\;\mathbf y_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

풀이.

구하려는 행렬을 $D$라고 하자.

$L(\mathbf y_1) = A\mathbf y_1=\mathbf 0=0\mathbf y_1+0\mathbf y_2+0\mathbf y_3\Rarr[0,0,0]^T$

$L(\mathbf y_2) = A\mathbf y_2=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\mathbf y_2 =0\mathbf y_1+1\mathbf y_2+0\mathbf y_3\Rarr[0,1,0]^T$

$L(\mathbf y_3) = A\mathbf y_3=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}=4\mathbf y_3=0\mathbf y_1+0\mathbf y_2+4\mathbf y_3\Rarr[0,0,4]^T$

$\therefore D = \begin{pmatrix}0\;\;0\;\;0\\0\;\;1\;\;0\\0\;\;0\;\;4\end{pmatrix}$

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<참고자료>
Steve J. Leon, Linear Algebra with Application, 10th edition, 2021.