기저와 좌표 - Basis and Coordinate

{$\mathbf v_1, \mathbf v_2, ..., \mathbf v_n$}이 벡터 공간 $V$의 기저(basis)라면,
$\mathbf v \in V$인 모든 벡터는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf v = x_1\mathbf v_1 + x_2\mathbf v_2 +... + x_n\mathbf v_n$ , $x_i \in \mathbb R$

여기서 계수 $x_1, x_2, ..., x_n$을 $\mathbf v$의 좌표(coordinate)라고 부른다.

vector $\mathbf v \mapsto (x_1, x_2, ..., x_n)^{T}$

위 매핑은 $V$와 $\mathbb R^n$ 사이의 일대일 대응이다.

Definition

$V$가 벡터 공간이고 $E = \{\mathbf v_1, \mathbf v_2, ..., \mathbf v_n\}$이 $V$의 순서가 주어진 기저라고 하자.
$\mathbf v$가 $V$의 벡터라면, $\mathbf v$는 다음과 같이 적을 수 있다.

$\mathbf v = c_1\mathbf v_1 + c_2\mathbf v_2 +... + c_n\mathbf v_n$

그러므로, 우리는 각 벡터 $\mathbf v$를 $\mathbb R^n$공간의 벡터 $\mathbf c = (c_1, c_2, ..., c_n)^T$와 연관지을 수 있다.

벡터 $\mathbf c$를 순서가 주어진 기저 $E$에 대한 벡터 $\mathbf v$의 좌표 벡터(coordinate vector)라고 하고, $[\mathbf v]_E$로 표현한다.

각 $c_i$는 $E$에 대한 $\mathbf v$의 좌표(coordinate)라고 한다.

좌표 변환 - Change of coordinates in $\mathbb R^n$

벡터 $\mathbf v = (x_1, x_2, ..., x_n) \in \mathbb R^2$의 표준 좌표는 표준 기저 $\mathbf e_1, \mathbf e_2, ... , \mathbf e_n$에 대한 좌표이다.
이 때, $\mathbf u_1, \mathbf u_2, ... , \mathbf u_n$이 $\mathbb R^n$의 또다른 기저가 되고 이에 대한 좌표는 $(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, ..., x_n^{\prime})$ 라고 하자.

그렇다면, 행렬 $U = (u_{ij})$일 때
$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\.\\.\\.\\x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{11} \;u_{12} \;... \;u_{1n}\\u_{21} \; u_{22} \; ... \; u_{2n}\\...\\u_{n1}\;u_{n2}\;...\;u_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1^{\prime}\\ x_2^{\prime}\\.\\.\\.\\ x_n^{\prime} \end{pmatrix}$
($U$의 열은 기저 벡터 $\mathbf u_1, \mathbf u_2, ... , \mathbf u_n$의 좌표들이다.)

행렬 $U$는 기저 $\mathbf u_1, \mathbf u_2, ... , \mathbf u_n$에서 표준 기저 $\mathbf e_1, \mathbf e_2, ... , \mathbf e_n$로의 전이행렬(transition matrix)이다.
$U$의 역행렬 $U^{-1}$은 표준 기저 $\mathbf e_1, \mathbf e_2, ... , \mathbf e_n$에서 기저 $\mathbf u_1, \mathbf u_2, ... , \mathbf u_n$로의 전이행렬이다.

일반적인 경우 - general case

$V$가 $n$ 차원의 벡터 공간이라고 하자.
$\mathbf v_1, \mathbf v_2, ..., \mathbf v_n$는 $V$의 기저이고, $\mathsf g_1 : V \rarr \mathbb R^n$은 이 기저에 대한 좌표 매핑이다.
$\mathbf u_1, \mathbf u_2, ..., \mathbf u_n$은 $V$의 또 다른 기저이고, $\mathsf g_2 : V \rarr \mathbb R^n$은 이 기저에 대한 좌표 매핑이다.

합성 $\mathsf g_2 \circ \mathsf g_1^{-1}$은 $\mathbb R^n$에서의 변환이다.

정리
$\mathsf g_1(\mathbf v) = \mathbf x$, $\mathsf g_2(\mathbf v) = \mathbf x'$라고 할 때,

$\mathbf x = U \mathbf x' \Rightarrow \mathbf x' = U^{-1} \mathbf x$

즉, $\mathsf g_2 \circ \mathsf g_1^{-1}(\mathbf x) = U^{-1} \mathbf x$

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<참고자료>
Steve J. Leon, Linear Algebra with Application, 10th edition, 2021.