벡터 공간 - Vector Spaces

벡터 - Vector

크기(magnitude; size)와 방향(direction)을 가진 양(quantity)을 나타내는 수학적 개념.

• 벡터의 수학적 표현
  $\mathbf v = (v_1, v_2, ..., v_n)$
• 벡터의 선형 연산
  $\mathbf x = (x_1, x_2, ..., x_n),\ \mathbf y = (y_1, y_2, ..., y_n), \ r \in \mathbb R$
  $\mathbf x+\mathbf y = (x_1+y_1, x_2+y_2, ..., x_n+y_n)$
  $r\mathbf x = (rx_1, rx_2, ..., rx_n)$
  $\mathbf 0 = (0, 0, ..., 0)$
  $-\mathbf y = (-y_1, -y_2, ..., -y_n)$
  $\mathbf x-\mathbf y = \mathbf x+(-\mathbf y) = (x_1-y_1, x_2-y_2, ..., x_n-y_n)$

$\rarr$ mn-차원 벡터와 m×n 행렬은 같은 성질을 가진다.

벡터 공간 - Vector space ; Linear space

집합의 원소들을 서로 더하거나(addition) 주어진 배수로 늘릴 수 있는(scalar multiplication) 집합
원문 : a set of objects that can be added and scaled

즉,
$\mathbf u, \ \mathbf v \in V$ and $r \in \mathbb R$일 때,
$\mathbf u+\mathbf v,\ r\mathbf u \in V$가 만족해야한다.

벡터 공간은 두가지 연산자로 구성된다.

• $\alpha \ : V \times V \rarr V$ (addition)
  $\alpha(\mathbf u, \mathbf v) = \mathbf u + \mathbf v \in V$
• $\mu \ : \mathbb R \times V \rarr V$ (scalar multiplication)
  $\mu(r, \mathbf u) = r\mathbf u \in V$

벡터 공간의 공리 $(\mathbf x, \ \mathbf y, \ \mathbf z \in V\ ;\ r, s \in \mathbb R)$
A1. $\mathbf x + \mathbf y = \mathbf y + \mathbf x$
A2. $(\mathbf x + \mathbf y)+\mathbf z = \mathbf x + (\mathbf y + \mathbf z)$
A3. $\mathbf 0 \in V, \mathbf 0$ ; zero vector, $\mathbf x + \mathbf 0 = \mathbf x$
A4. $\mathbf x + (-\mathbf x) = \mathbf0$
A5. $r(\mathbf x + \mathbf y)=r\mathbf x+r\mathbf y$
A6. $(r+s)\mathbf x= r\mathbf x + s\mathbf x$
A7. $(rs)\mathbf x=r(s\mathbf x)$
A8. $1 \cdot \mathbf x = \mathbf x$

선형 결합 - Linear combination
주어진 $\mathbf u_1, \mathbf u_2, ..., \mathbf u_k \in V$ 와 $r_1, r_2,..., r_k \in \mathbb R$에 대하여,

$r_1\mathbf u_1 + r_2\mathbf u_2+...+r_k\mathbf u_k$

는 $\mathbf u_1, \mathbf u_2, ..., \mathbf u_k$의 선형 결합이다.

Functional Vector Spaces

• $F(\mathbb R)$ : 모든 함수 $f : \mathbb R \rarr \mathbb R$의 집합
• $C(\mathbb R)$ : 모든 연속 함수 $f : \mathbb R \rarr \mathbb R$의 집합
• $C^{1}(\mathbb R)$ : 모든 미분 가능한 연속 함수 $f : \mathbb R \rarr \mathbb R$의 집합
• $C^{\infin}(\mathbb R)$ : 모든 매끄러운(smooth) 함수 $f : \mathbb R \rarr \mathbb R$의 집합
• $\mathcal P$ : 모든 다항식 $p(x) = a_0 + a_1x +...+a_nx^{n}$의 집합

---

<참고자료>
Steve J. Leon, Linear Algebra with Application, 10th edition, 2021.