Lec.11 Frequency Domain Filtering

Alex·2024년 6월 18일

1. 디지털 이미지를 위한 2차원 DFT
2. 주파수 영역 필터링
▪ 주파수 영역 필터링(T4.7)
▪ 저역통과 주파수 영역 필터(T4.8)
▪ 고역 주파수 도메인 필터(T4.9)

✓ 정의
✓ 주기성
✓ 크기 및 위상
✓ DC 구성요소
✓ 번역 및 회전
✓ 센터링
✓ 예시
✓ 속성 및 쌍 요약

2-D DFT for Digital Images – Definition
◆ 2-D DFT

• 때로는 문헌에서 IDFT 대신 DFT 앞에 1/MN 상수가 있는 것을 발견할 수 있습니다.
• 때때로 이 상수의 제곱근이 정변환 및 역변환 앞에 포함되어 보다 대칭적인 쌍을 생성합니다.
• 일관되게 사용된다면 이러한 공식은 모두 정확합니다.

디지털 이미지를 위한 2차원 DFT – 주기성

◆ Periodicity:

디지털 이미지를 위한 2D DFT – 크기 및 위상
◆ 크기 및 위상각

▪ 크기 및 위상
▪ 전력 스펙트럼 밀도(PSD)

◆ 실제 신호의 경우

디지털 이미지를 위한 2차원 DFT - DC 구성요소
◆ DC Component

⚫ 따라서 DC 성분은 모든 픽셀 강도의 합과 같습니다.
⚫ MN은 일반적으로 크기 때문에 DC 구성 요소는 일반적으로 스펙트럼의 가장 큰 구성 요소입니다.
⚫ 신호 평균 𝑓ҧ
★ 이미지의 평균 강도 𝑓ҧ는 DC 구성 요소 F(0,0)를 이미지 크기 MN으로 나눈 값과 같습니다.

디지털 이미지를 위한 2차원 DFT - 변환 및 회전
◆ Translation

◆ Rotation

2-D DFT for Digital Images – Centering

◆ 스펙트럼 중심 맞추기

그림 4.22 푸리에 변환을 중심에 두기.
(a) 무한한 수의 기간을 보여주는 1차원 DFT.
(b) F(u)를 계산하기 전에 f(x)에 (-1)x를 곱하여 얻은 이동된 DFT.
(c) 무한한 수의 기간을 보여주는 2차원 DFT. 점선 직사각형 내의 영역은 Eq.로 얻은 데이터 배열 F(u,v)입니다. (4-67) 이미지 f(x,y)를 입력으로 사용합니다. 이 배열은 4개의 분기 기간으로 구성됩니다. (d) F(u,v)를 계산하기 전에 f(x,y)에 (-1)x+y를 곱하여 얻은 이동된 배열. 이제 데이터에는 (b)와 같이 하나의 완전한 중앙 집중 기간이 포함됩니다.

2-D DFT for Digital Images – Example (Centering)

◆ 예: 직사각형 신호
⚫ 직사각형의 중심 스펙트럼

그림 4.23
(a) 직사각형 이미지.
(b) 스펙트럼, 네 모서리에 작고 밝은 영역이 표시됩니다(보려면 주의 깊게 관찰해야 합니다).
(c) 중심 스펙트럼.
(d) 로그 변환 후의 결과. (a)의 직사각형이 수직 방향으로 더 길기 때문에 스펙트럼의 영점 교차점은 수직 방향으로 더 가깝습니다.

2-D DFT for Digital Images – Example (Translation & Rotation)

◆ Example: a Rectangle Signal (cont’d)
⚫ Translation & Rotation

그림 4.24
(a) 그림 4.23(a)의 직사각형이 번역되었습니다. 변환된 직사각형의 스펙트럼은 그림 4.23(a)의 원본 이미지 스펙트럼과 동일합니다.
(b) 해당 스펙트럼.
(c) 회전된 직사각형.
(d) 해당 스펙트럼.

2-D DFT for Digital Images – Properties Summary

2-D DFT for Digital Images – Pairs Summary

Frequency Domain Filtering
주파수 영역 필터링(T4.7)
저역통과 주파수 영역 필터(T4.8)
고역 주파수 영역 필터(T4.9)

1. 주파수 영역 필터링 – 직관

◆ 직관: 크기 스펙트럼
⚫ 크기 스펙트럼은 스펙트럼이 생성된 이미지의 총 강도 특성에 대한 몇 가지 유용한 지침을 제공합니다.

그림 4.28 (a) 손상된 집적 회로의 SEM 이미지. (b) (a)의 푸리에 스펙트럼.

◆ 직관: 주파수 영역 필터링

그림 2.45
(a) 정현파 간섭으로 인해 이미지가 손상되었습니다.
(b) 간섭으로 인한 에너지 폭발을 보여주는 푸리에 변환의 크기.
(c) 에너지 폭발을 제거하는 데 사용되는 마스크.
(d) 수정된 푸리에 변환의 역을 계산한 결과.

1. 주파수 영역 필터링 - 파이프라인

◆ 주파수 영역의 필터링 기법
⚫ 특정 목표를 달성하기 위해 DFT를 수정한 다음 IDFT를 계산하여 공간 영역으로 돌아갑니다.

⚫ P x Q 픽셀 크기의 (패딩된) 디지털 이미지 f(x, y)가 주어지면 기본 필터링 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
★필터 전달 함수인 H(u,v)가 실수이고 대칭이고 f(x,y)가 실수(일반적인 경우)인 경우 위 방정식의 IDFT는 이론상 실수를 산출해야 합니다.
★실제로 역함수에는 반올림 오류 및 기타 계산 부정확성으로 인한 기생 복소 항이 포함되는 경우가 많습니다. 따라서 IDFT의 실수 부분을 취하여 g(x,y)를 형성하는 것이 일반적입니다.

Filtering in the Frequency Domain – Zero Padding

◆ 2차원 이산 컨벌루션 정리
⚫ 2차원 원형 컨볼루션

⚫ Fourier Transform

⚫ 순환 컨볼루션에는 제로 패딩이 필요합니다

그림 4.27
왼쪽 열: 공간 컨볼루션
오른쪽 열: 원형 컨볼루션.
(j)의 실선은 DFT를 사용하여 얻을 수 있는 결과입니다.
이 잘못된 결과는 제로 패딩을 사용하여 해결할 수 있습니다.

Filtering in the Frequency Domain – Algorithm
◆ 주파수 영역 필터링 단계
M x N 크기의 입력 이미지 f(x, y)가 주어지면:
① [Padding] 제로 패딩, 미러 패딩, 복제 패딩을 이용하여 P x Q (P=2M, Q=2N) 크기의 패딩된 이미지 fp (x, y)를 형성합니다.
② [중앙화] fp(x, y)에 (−1)(𝑥+𝑦)을 곱하여 DFT를 P x Q 주파수 직사각형의 중앙에 배치합니다.
③ [DFT] 2단계 이미지의 DFT F(u, v)를 계산합니다.
④ [필터링] 요소별 곱셈을 이용하여 G(u, v)= H(u, v)F(u, v)의 곱을 만든다.
▪ H(u, v)는 (P/2,Q/2)에 중심이 있는 P x Q 크기의 실수 대칭 필터여야 합니다.
⑤ [IDFT] G(u,v)의 IDFT를 계산하여 필터링된 이미지 gp(x,y)(크기 P x Q)를 얻습니다.
⑥ [추출] gp(x, y)의 왼쪽 상단 사분면 영역을 추출하여 입력 영상과 동일한 크기의 최종 필터링 결과 g(x, y)를 구합니다.

그림 4.35
(a) M X N 이미지, f.
(b) 패딩된 이미지, 크기 P X Q의 fp.
(c) fp에 (-1)x+y를 곱한 결과.
(d) F의 스펙트럼.
(e) P X Q 크기의 중심 가우스 저역 통과 필터 전달 함수 H.
(f) 생성물 HF의 스펙트럼에 (-1)x+y를 곱합니다.
(g) gp의 처음 M행과 N열을 추출하여 얻은 최종 결과 g.