[모두를 위한 선형대수학] 4. 벡터의 내적과 외적

1. 벡터의 내적과 벡터의 길이

2. 백터 내적의 성질 증명

3. 코시-슈바르츠 부등식의 증명

코시-슈바르츠 부등식

• 벡터의 내적의 절대값은 두 벡터의 길이의 곱보다 작거나 같음
  $\Vert \vec y\| \cdot \Vert \vec x\| \geq |\vec x \cdot \vec y|$

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• 벡터 x가 y의 스칼라 배인 경우 성립
  $\vec x= c\vec y$

4. 벡터의 삼각부등식

• 삼각부등식
  $\Vert \vec x+\vec y\ \| \leq \Vert \vec x\|+\Vert\vec y\|$

5. 벡터 사이의 각 정하기

• 두 벡터 사이의 각도

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• 같은 방향

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• 반대방향

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• 내적값 = 0 → 직교 모든 0벡터는 모든 벡터와 직교한다.
  • 벡터가 모두 0이 아닐 때 수직이고, 내적값 = 0일 때 직교한다
  • 그러나, 벡터가 0이 아니면, 이들은 모두 직교하면서 수직이다.

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6. 점과 법선벡터를 이용해 $R^3$에서 평면 정의하기

• 법선벡터 : plane 상의 모든 것과 수직상태

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7. 벡터의 외적

8. 증명 : 외적과 각의 sin값의 관계

• 외적
  $\Vert \vec a \times \vec b\| = \Vert \vec a \|\Vert \vec b \|sin\theta$

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• 내적
  $\Vert \vec a \cdot \vec b\| = \Vert \vec a \|\Vert \vec b \|cos\theta$

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9. 내적과 외적의 비교(직관)

• 외적의 절대값은 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 넓이와 같음
• 내적 : a와 b가 동일선상 = Max, 수직 = min
• 외적 :수직 = Max

10. 벡터의 삼중적의 확장

• 벡터의 삼중적 확장

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11. 평면방정식의 법선 벡터

• 평면방정식
  $Ax+Bx+Cz=D$

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• 법선벡터
  $\vec n = A\hat i + B\hat j + C\hat k$

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12. 점과 평면 사이의 거리

• distance
  $d={{Axo+Byo+Cxo-D}\over\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

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13. 평면 사이의 거리

• 점과 평면사이의 거리 응용하여 풀이

4강. 요약정리