Numpy

💡np.array() 의 인자는 하나! (리스트나 튜플 형태로 넘겨주어야 함)

벡터와 스칼라 연산

벡터의 각 원소에 대해서 연산을 진행

$x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\hspace{1em}c=5$

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벡터와 벡터 연산

벡터의 같은 인덱스끼리 연산이 진행됨!

$y=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}\hspace{1em}z=\begin{pmatrix}2\\9\\20\end{pmatrix}$

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Array의 Indexing, Slicing

Python의 리스트와 유사하게 진행

$W=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{pmatrix}$

• Indexing

  : Array에서 특정 위치의 원하는 원소를 가져올 때 인덱싱을 이용

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• Slicing

  : Array에서 특정 범위의 원하는 원소들을 가져올 때

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Array의 Broadcasting

Numpy가 연산을 진행하는 특수한 방법

기본적으로 같은 Type의 data에 대해서만 연산이 적용가능

하지만 만약 피연산자가 연산 가능하도록 변환이 가능하다면 연산이 가능.
이를 Broadcasting이라고 한다.

1. $M \times N, M \times 1$

   (3 x 3)와 (3 x 1)를 연산하면 3 x 1을 3 x 3 으로 차원 수를 맞추고 연산을 한다.

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2. $M \times N, 1 \times N$

   (3 x 3)와 (1 x 3)를 연산하면 1 x 3을 3 x 3 으로 차원 수를 맞추고 연산을 한다.

   ![https://velog.velcdn.com/images%2Fleeyongjoo%2Fpost%2F64eb5330-6538-4c01-8630-5ba73819dd02%2Fimage.png%5D(https%3A%2F%2Fimages.velog.io%2Fimages%2Fleeyongjoo%2Fpost%2F64eb5330-6538-4c01-8630-5ba73819dd02%2Fimage.png)

3. $M \times 1, 1 \times N$

   (3 x 1)와 (1 x 3)를 연산하면 둘 다 3 x 3 으로 차원 수를 맞추고 연산을 한다.

   ![https://velog.velcdn.com/images%2Fleeyongjoo%2Fpost%2Fc8b8c20e-35f1-4046-b20f-4362dfb60b51%2Fimage.png%5D(https%3A%2F%2Fimages.velog.io%2Fimages%2Fleeyongjoo%2Fpost%2Fc8b8c20e-35f1-4046-b20f-4362dfb60b51%2Fimage.png)

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Numpy 와 선형대수

A. Basics

영벡터(영행렬)

• 원소가 모두 0인 벡터(행렬)
• np.zeros(dim)을 통해 생성, dim은 값 혹은 튜플(, )

np.zeros(2)
# array([0., 0.])

np.zeros((3, 3))
# array([[0., 0., 0.],
#        [0., 0., 0.],
#        [0., 0., 0.]])

일벡터(일행렬)

• 원소가 모두 1인 벡터(행렬)
• np.ones(dim)을 통해 생성, dim은 값 혹은 튜플(,)

np.ones(2)
# array([1., 1.])

np.ones((3, 3))
# array([[1., 1., 1.],
#        [1., 1., 1.],
#        [1., 1., 1.]])

대각행렬(diagonal matrix)

• main diagonal을 제외한 성분이 0인 행렬
• np.diag(main_diagonal)을 통해 생성

np.diag((2, 4))
# array([[2, 0],
#        [0, 4]])

np.diag((1, 3, 5))
# array([[1, 0, 0],
#        [0, 3, 0],
#        [0, 0, 5]])

항등행렬(identity matrix)

• main diagonal이 1인 대각행렬
• np.eye(n[, dtype=float])를 사용

np.eye(2, dtype=int)
# array([[1, 0],
#        [0, 1]])

np.eye((3, dtype=float))
# array([[1., 0., 0.],
#        [0., 1., 0.],
#        [0., 0., 1.]])

*dtype: data type, (dtype=int, uint, float, complex, ...)

행렬곱(dot product)

• 행렬간에 정의되는 곱 연산
• np.dot(), @ 사용

mat_1 = np.array([[1, 4], [2, 3]])
mat_2 = np.array([[7, 9], [0, 6]])

mat_1.dot(mat_2)
# array([[ 7, 33],
#        [14, 36]])

mat_1 @ mat_2
# array([[ 7, 33],
#        [14, 36]])

B. Furthermore

트레이스(trace)

• main diagonal의 합
• np.trace()를 사용

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

arr
# array([[1, 2, 3],
#        [4, 5, 6],
#        [7, 8, 9]])

arr.trace()
# 15

np.eye(2, dtype=int).trace()
# 2

행렬식(determinant)

$ad-bc$

• 행렬을 대표하는 값들 중 하나 → 선형변환
• 선형변환 과정에서 Vector의 Scaling 척도
• np.linalg.det() 으로 계산

arr_2 = np.array([[2, 3], [1, 6]])

arr_2
# array([[2, 3],
#        [1, 6]])

np.linalg.det(arr_2)
# 9.000000000000002

arr_3 = np.array([[1, 4, 7], [2, 5, 8], [3, 6, 9]])

arr_3
# array([[1, 4, 7],
#        [2, 5, 8],
#        [3, 6, 9]])

# 1(5 * 6 - 6 * 8) - 4(2 * 9 - 3 * 8) + 7(2 * 6 - 3 * 5)
# -3 + 24 - 21
# 0

np.linalg.det(arr_2)
# 0.0

⭐행렬식 값이 0이면 선형변환 과정에서 차원에 손실이 발생한다!

역행렬(inverse matrix)

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = {\Large\frac{1}{ad-bc}}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

• 행렬 A에 대해 $AB = BA = I$ 를 만족하는 행렬 $B (= A^{-1})$
• np.linalg.inv()을 사용

mat = np.array([[1, 4], [2, 3]])

mat
# array([[1, 4],
#        [2, 3]])

mat_inv = np.linalg.inv(mat)
# array([[-0.6,  0.8],
#        [ 0.4, -0.2]])

mat @ mat_inv
# array([[1., 0.],
#        [0., 1.]])

고유값과 고유벡터(eigenvalue and eigenvector)

$Ax = \lambda x \hspace{1em}\Rightarrow \hspace{1em} (A-\lambda I)x = 0$

• 정방행렬 $A_{n\times n}$에 대하여 $Ax=\lambda x$를 만족하는 $\lambda$와 x를 각각 고유값과 고유벡터라고 한다.
• np.linalg.eig()로 계산

mat = np.array([[2, 0, -2], [1, 1, -2], [0, 0, 1]])

mat
# array([[ 2,  0, -2],
#        [ 1,  1, -2],
#        [ 0,  0,  1]])

mat_linalg.eig(mat)
# (array([1., 2., 1.]),
#  array([[0.        , 0.70710678, 0.89442719],
#         [1.        , 0.70710678, 0.        ],
#         [0.        , 0.        , 0.4472136 ]]))

🔥고유값과 고유벡터가 나오는데,

고유값은 고유벡터의 열벡터에 대한 고유값이다.

🔎Validation

eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(mat)

eig_val
# array([1., 2., 1.])

eig_vec
# array([[0.        , 0.70710678, 0.89442719],
#        [1.        , 0.70710678, 0.        ],
#        [0.        , 0.        , 0.4472136 ]])

mat @ eig_vec[:, 0] # Ax
# array([0., 1., 0.])

eig_val[0] * eig_vec[:, 0] # (lambda)x
# array([0., 1., 0.])

📌Numpy 정리

• Numpy 연산

  • Vector - Scalar : elementwise! (+, -, *, /)
  • Vector - Vector : elementwise / broadcasting (+, -, *, /)
  • Indexing & Slicing

• Numpy 와 선형대수

  1. basics
     • 영벡터 : .zeros()
     • 일벡터 : .ones()
     • 대각행렬 : .diag()
     • 항등행렬 : .eye()
     • 행렬곱 : @ / .dot()
  2. furthermore
     • 트레이스 : .trace()
     • 행렬식 : .linalg.det()
     • 역행렬 : .linalg.inv()
     • 고유값 : .linalg.eig()

Exercises🏃‍♂️

1. 어떤 벡터가 주어졌을 때 L2 norm을 구하는 함수 get_L2_norm()을 작성하세요

   • 매개변수 : 1차원 벡터(np.array)
   • 반환값 : 인자로 주어진 벡터의 L2 Norm 값(number)

   import numpy as np
   
   mat = np.array([1,2,3,4])
   
   def get_L2_norm(mat):
       return np.linalg.norm(mat, ord=2)
   
   print(get_L2_norm(mat))
   # 5.477225575051661

2. 어떤 행렬이 singular matrix 인지 확인하는 함수 is_singular()를 작성하세요

   • 매개변수 : 2차원 벡터(np.array)
   • 반환값 : 인자로 주어진 벡터가 singular하면 True, non-singular하면 False를 반환

   import numpy as np
   
   mat_1 = np.array([[1,2],[3,4]])
   mat_2 = np.array([[1,2],[2,4]])
   
   def is_singular(mat):
       return True if np.linalg.det(mat) == 0 else False
   
   print(is_singular(mat_1))
   # False
   print(is_singular(mat_2))
   # True