CDF(Cumulative Distribution Function)

Def)
$F_X(x)=P_X([-\infty,x])=P(X \leq x)$

Properties)
a) $F_X$ is a nondecreasing function ($a<b =>F_X(a) \leq F_X(b)$)
b) $\lim_{x \to \infty}F_X(x)=1$
c) $\lim_{x \to -\infty}F_X(x)=0$
d) $F_X$ is a right continuous function.

PMF(Probability Mass Function)

Def)
이산형 확률변수 $X$에 대한 pmf는 다음과 같이 표기한다.
$P_X(x)=P(\left\{X: X=x \right\})=P(X=x)$

Properties)
a) $P_X(x) \geq 0, \sum_{x \in range(X)}P_X(x)=1$
b) 양의 확률을 가지는 $X$ 포인트를 'support'라고 부른다. 즉, $range(X)=support$
c) $F_X(x)=\sum_{z \leq X}P_X(z), P_X(x)=F_X(x)-F_X(x-)$

PDF(Probability Density Function)

Def)
$F_X$ 가 연속이고 미분가능하다면, 연속형 확률변수 $X$의 pdf($f_X(x)$)는 다음과 같이 정의된다.
$\frac{d}{dx}F_X(x)=f_X(x)$

Properties)
a) $F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)dt$
b) $\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)dx=1$
c) $P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b}f_X(x)dx$

✔︎ 주의사항
$P(a \leq X \leq b)=P(a<X \leq b)=P(a \leq X<b)=P(a<X<b)$