1. cdf technique

① cdf $F_X(x)$를 이용해서 cdf $F_Y(y)$를 찾는다.
② $f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)$

ex)

Theorem)
$support(x)$에서 pdf $f_X(x)$을 가지는 연속형 확률변수 $X$가 있고, 미분가능한 일대일 함수 $g(x)$가 존재할 때 (=$g(x)$의 역함수가 존재할 때), $Y=g(x)$의 pdf는

$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|\frac{dx}{dy}| \space (y \in support(y), support(y)=\left\{y=g(x):x \in support(x) \right\})$
pf)

2. $g(x)$가 일대일 함수가 아닐 때(역함수가 존재하지 않을 때)

① cdf technique 사용
② 아래의 theorem 사용

Theorem)
$support(x)$에서 pdf $f_X(x)$을 가지는 연속형 확률변수 $X$가 있고, $Y=g(x)$라 하자.

1. $support(x)$의 partition $A_0,A_1,...,A_k(P(X \in A_0)=0)$이 존재하고,
2. 각 $A_i$에 대해 $f_X(x)$가 연속이고,
3. 각 $A_i$에 대해 $g_1(x),g_2(x),...,g_k(x)$가 일대일 함수일 때,

$f_Y(y)=\sum_{i=1}^{k}f_X(g_i^{-1}(y))|\frac{d}{dy}g_i^{-1}(y)| \space (y \in support(y), support(y) = \left\{y: y=g_i^{-1}(x) \space for \space some \space x \in A_i \right\})$

$A_i$가 다른 범위의 $y$를 가진다면, $y \in support(y_i), support(y_i)=\left\{y:y=g_i^{-1}(x) \space for \space some \space x \in A_i \right\}, ran(y)=\bigcup_{i=1}^{k}support(y_i)$

ex)

summary

1) $g^{-1}$ exists

• discrete case: $P_Y(y)=P_X(g^{-1}(y))$
• continuous case: $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)|$

2) $g^{-1}$ NOT exists

• discrete case: $P_Y(y)=\sum_{x \in g^{-1}(y)}P_X(x)$
• continuous case: $f_Y(y)=\sum_{i=1}^{k}f_X(g_i^{-1}(y))|\frac{d}{dy}g_i^{-1}(y)|$
  $g_1(x),...,g_k(x)$: $A_1,...,A_k$에서 각각 일대일 함수
  $A_1,...,A_k$: partition of $support(x)$