문제

상근이의 여동생 상냥이는 문방구에서 스티커 2n개를 구매했다. 스티커는 그림 (a)와 같이 2행 n열로 배치되어 있다. 상냥이는 스티커를 이용해 책상을 꾸미려고 한다.

상냥이가 구매한 스티커의 품질은 매우 좋지 않다. 스티커 한 장을 떼면, 그 스티커와 변을 공유하는 스티커는 모두 찢어져서 사용할 수 없게 된다. 즉, 뗀 스티커의 왼쪽, 오른쪽, 위, 아래에 있는 스티커는 사용할 수 없게 된다.

모든 스티커를 붙일 수 없게된 상냥이는 각 스티커에 점수를 매기고, 점수의 합이 최대가 되게 스티커를 떼어내려고 한다. 먼저, 그림 (b)와 같이 각 스티커에 점수를 매겼다. 상냥이가 뗄 수 있는 스티커의 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 즉, 2n개의 스티커 중에서 점수의 합이 최대가 되면서 서로 변을 공유 하지 않는 스티커 집합을 구해야 한다.

위의 그림의 경우에 점수가 50, 50, 100, 60인 스티커를 고르면, 점수는 260이 되고 이 것이 최대 점수이다. 가장 높은 점수를 가지는 두 스티커 (100과 70)은 변을 공유하기 때문에, 동시에 뗄 수 없다.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스의 첫째 줄에는 n (1 ≤ n ≤ 100,000)이 주어진다. 다음 두 줄에는 n개의 정수가 주어지며, 각 정수는 그 위치에 해당하는 스티커의 점수이다. 연속하는 두 정수 사이에는 빈 칸이 하나 있다. 점수는 0보다 크거나 같고, 100보다 작거나 같은 정수이다.

출력

각 테스트 케이스 마다, 2n개의 스티커 중에서 두 변을 공유하지 않는 스티커 점수의 최댓값을 출력한다.

풀이

쉽게 그림을 가지고 설명을 해보겠다.

2xn배열이 쭉 나열되어 있는데 4번째 칼럼에서 최대값을 가질 수 있는 경우를 보자.

빨간색으로 칠해져 있는 칸의 인접 칸은 선택할 수 없다.

파란색으로 칠해져 있는 칸 중에서 선택해야 하는데 파란색으로 칠해져 있는 칸에서도 경우가 갈린다.

상식적으로 생각해서 빨간색칸에서의 최대값을 구하려면 컴팩트하게 스티커를 선택해야 한다. 그래서 1번, 2번 또는 3번 칸을 선택할텐데, 3번 칸을 따로 선택하지 않는 이유는 1번 칸을 선택하면 3번, 4번, 5번까지 연쇄적인 값을 추가한 경우가 포함되기 때문이다. 2번을 선택하면 5번 스티커를 포함한 값이 될 것이다. 결국은
1. 빨간색 칸의 최대값을 구하려면 1번, 2번 스티커 중에서 최대값에 더하면 되고,
2. 1번 스티커의 최대값을 구하려면 3, 5번 스티커 중에서 최대값에 더한다.
3. 그러면 2번 스티커는 5번 스티커를 더한 값이 최대값이 될테고
그래서 점화식을 세워보면

if (k == 0)
	dp[k][j] += MAX(dp[k + 1][j - 1], dp[k + 1][j - 2]);
if (k == 1)
	dp[k][j] += MAX(dp[k - 1][j - 1], dp[k - 1][j - 2]);

코드

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX(a, b) (a > b) ? a : b

int dp[2][100001];

int main()
{
	int t, n;
	int res = 0;
	scanf("%d", &t);

	for (int i = 0; i < t; i++)
	{
		scanf("%d", &n);
		for (int j = 0; j <= 1; j++)
		{
			for (int k = 0; k < n; k++)
				scanf("%d", &dp[j][k]);
		}
		dp[0][1] += dp[1][0];
		dp[1][1] += dp[0][0];
		for (int j = 2; j < n; j++)
		{
			for (int k = 0; k < 2; k++)
			{
				if (k == 0)
					dp[k][j] += MAX(dp[k + 1][j - 1], dp[k + 1][j - 2]);
				if (k == 1)
					dp[k][j] += MAX(dp[k - 1][j - 1], dp[k - 1][j - 2]);
			}
		}
		res = MAX(dp[0][n - 1], dp[1][n - 1]);
		cout << res << endl;
	}
	return 0;
}