[암호학 1강] 암호 수학1

1. 군 Group

군(G, +)

• 아래 성질들을 만족하는 집합 G와 이항연산 +

닫힘 (Closure)

• $a, b \in G$ 라면,
  $a + b \in G$

결합법칙(Associative)

• 모든 $a,b, c \in G$에 대해
  $(a+b) + c = a + (b + c)$

항등원(Identity)

• $e + a = a + e = a$인 $e$가 존재

역원(Inversse)

• 각 $a \in G$에 대해
  $a^\prime + a = a + a^\prime = e$인 $a^\prime$이 존재

이 네가지를 만족하면 군 이라고 한다.

• 대표적인 군은 자연수, 유리수, 실수가 있다.

덧셈에 대한 항등원은 0,
곱셉의 항등원은 1이다.

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2. 유한군(Finite Group)

집합 $G$의 원소 개수가 유한한 군$(G, +)$

• 예시)
  • $(\{0,1\}, \oplus)$ -> XOR 연산

$\oplus$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

• 항등원 0

• 역원 1

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3. 가환군과 순환군

가환군 (Abelian Group)

교환법칙이 추가 됨 (Commutative)

• 모든 $a, b, c \in G$에 대해
  $a + b = b + a$

순환군 (Cyclic Group)

$G=\{x^n | n \in \mathbb{Z}\}$인 생성원(Generator) $x$가 존재

• 순환군은 가환군이다.
  • 교환법칙이 자연스럽게 성립한다는 의미

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4.환 (Ring)

환 $(R, +, \times)$

• 아래 성질들을 만족하는 집합 $R$과 이항연산

가환군

$\times$ (곱셉) 에 대해 닫힘

• $a, b \in R$이라면
  $a \times b \in R$

$\times$ (곱셉)에 대한 결합법칙

• 모든 $a, b, c \in R$에 대해
  $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

분배법칙 (Distributive)

• 모든 $a, b, c \in R$에 대해
  $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
  $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$

모두 만족하면 환이다.

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5. 가환환과 Unity (Commutative Ring)

가환환

$\times$에 대한 교환법칙 추가

• 모든 $a, b, c \in R$에 대해
  $a \times b = b \times a$

환 with Unity

$\times$에 대한 항등원이 존재할 때

• 모든 $a \in R$에 대해
  $1 \times a = a \times 1$인 1이 존재

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6. 체 (Field)

아래 성질들을 만족하는 집합 $F$와 이항연산

• 간환환 with Unity
• $\times$에 대한 역원
  • 0이 아닌 각 $a \in F$에 대해
    $a^-1 \times a = a \times a^-1$

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7. 유한체 $GF(2^n)$

AES 대칭키 암호화 알고리즘을 이해하기 위한 핵심 내용

• 집합 $2^n$개의 원소로 구성
• 이항연산 덧셈, 곱셈: mod연산과 n차의 기약다항식을 바탕으로 함
• 일반형은 $GF(p^n)$
  • 단 $p$는 소수

$a_{n-1}a_{n-2}......a_1a_0$

• n자리 이진수로 표현됨
  • n = 8
    • $f_1(x) = x^6 + x^4 + x^2 + x + 1$
      • 01010111 -> $GF(2^8)$

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