2-2. 선형변환 합성/동형사상/좌표변환

4. 선형변환 합성과 행렬 곱

• 조건
  - $F$-벡터공간 $V,W,Z$와 선형변환 $T:V\rightarrow W,$ $U:W\rightarrow Z$가 있다고 하자 선형변환의 합성은 다음과 같이 정의된다
• 정의
  - $UT:V\rightarrow Z$
• 이에 따라오는 성질
  - $UT$는 선형변환이다
• 조건2
  - 벡터공간 $V$와 선형변환 $T,U_1,U_2$가 있다고 하자
• 이에 따라오는 성질 2
  - $T(U_1+U_2)=TU_1+TU_2$ 이고 $(U_1+U_2)T=U_1T+U_2T$ 이다
  - $T(U_1U_2)=(TU_1)U_2$
  - $TI=IT=T$
  - $a \in F$에 대해 $a(U_1U_2)=(aU_1)U_2=U_1(aU_2)$
  

4-1. 선형변환 합성을 행렬곱으로 정의하려면?

• 조건
  - 유한차원 벡터공간 $V,W,Z$가 있다고 하자
  - 선형변환 $T:V\to W, \,\, U:W\to Z \,\,$ 가 있다고 하자
  - $V$의 순서기저 $\alpha=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ $W$의 순서기저 $\beta=\{w_1,w_2,...,w_m \}$ $Z$의 순서기저 $\gamma=\{z_1,z_2,...,z_p\}$ 가 있다
• 질문: $[UT]_{\alpha}^{\gamma}=$?
  - $(UT)(v_j)=U(T(v_j))=U(([T]_{\alpha}^{\beta})_{ij}w_{i})=([T]_{\alpha}^{\beta})_{ij}\cdot U(w_i)=([T]_{\alpha}^{\beta})_{ij}([U]_{\beta}^{\gamma})_{ki}z_k$
  - 즉 $(UT)(v_j)=([UT]_{\alpha}^{\gamma})_{kj}z_k=([U]_{\beta}^{\gamma})_{ki}([T]_{\alpha}^{\beta})_{ij}z_k$
• 행렬곱의 정의
  - 조건
  • $m\times n \,\,\boldsymbol{A}$ 행렬과 $n\times p \,\,\boldsymbol{B}$ 행렬에 대해 두 행렬의 곱 $\boldsymbol{AB}$는 다음과 같이 정의된다
    - 정의
  • $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$
    
• 좌측 곱 변환 $left-multiplication\,\,transformation$ 정의
  - 조건
  $m\times n\,\,\boldsymbol{A}$ 행렬이 있고, $x\in \boldsymbol{F}^n$ 이라 하자
  - 정의
  $L_A:\boldsymbol{F}^n\rightarrow \boldsymbol{F}^m ,\,\,L_A(x)=\boldsymbol{A}x$

5. 가역성 $invertibility$와 동형사상$isomorphism$

• 조건
  - 벡터공간 $V,W$가 있다고 하자. 선형변환 $T:V\rightarrow W$가 있다고 하자
• 정의
  - $TU=I_W$이고 $UT=I_V$인 함수 $U$가 존재하면
  - $T$를 가역 $invertible$이라고 부른다
  - 함수 $U$를 역함수$inverse$라고 한다.
  - 함수 $U$를 $T^{-1}$로 표기한다
• 이에 따라오는 성질
  - $T^{-1}$도 선형변환이다.
  - $(TU)^{-1}=U^{-1}T^{-1}$
  - $(T^{-1})^{-1}=T$
  • 만약 $dimV=dimW$ 라면 선형변환 $T:V\rightarrow W$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $dim(V)=rank(T)$이다.(차원정리)

5-1 동형사상

• 조건
  - 두 벡터공간 $V,W$가 있고, 가역인 선형변환 $T:V\rightarrow W$가 있다고 하자
• 정의
  - 벡터공간 $V$는 $W$와 동형$isomorphic$이라 부른다
• 선형변환 $T$ 는 동형사상 $isomorphism$ 이라고 부른다
• 선형변환- 행렬이 동형사상임을 증명하기
• 조건
  - $n-dimentional\,\,v.s\,\,V$ 와 $m-dimentional\,\,v.s\,\,W$ 가 있다고 하자
  - $V$의 순서기저를 $\beta$ , $W$의 순서기저를 $\gamma$라 하자
  - $V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환의 집합을 $L(V,W)$로 표기하기로 하자
  - 결과
  - $\Phi_{\beta}^{\gamma}(T)=[T]_{\beta}^{\gamma}$ 로 선형변환을 행렬로 바꾸는 함수는 동형사상이다
  

6. 좌표변환 행렬

• 조건
  - 유한차원 벡터공간 $V$의 순서기저 $\beta=\{v_1,v_2,...,v_n\}$이 있고, $\beta^\prime=\{v_1^\prime,v_2^\prime,...,v_n^\prime\}$ 이라 하자
• 정리 및 정의
  - $[v]_\beta=[I_V]_{\beta^\prime}^{\beta}[v]_{\beta^\prime}$ 의 정리가 유도된다
  - $[I_V]_{\beta^\prime}^{\beta}$는 좌표변환행렬 $change\,\,of\,\,coordinate\,\,matrix$라 불린다
• 이와 유사한 정리
  - $[T]_{\beta^\prime}=[I]_{\beta}^{\beta^\prime}[T]_{\beta}[I]_{\beta\prime}^{\beta}$ 이다
• 정의2
  - 조건
  • $n\times n \,\,\boldsymbol{A},\,\,\boldsymbol{B}$가 있다고 하자
  • $\boldsymbol{B}= {\boldsymbol{Q}^{-1}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$를 만족시키는 가역행렬 $\boldsymbol{Q}$가 존재한다고 하자
  • 정의
    - $\boldsymbol{A}$와 $\boldsymbol{B}$는 닮음$similar$라고 부른다