• Friedberg 저 선형대수를 공부하고 정리한 내용을 업로드 한 것입니다. 혹 필요하신분 있으시면 도움이 되면 좋겠습니당

1. 벡터 공간

1. 벡터 공간 $vector\,\,space$란?

• 체 $F$에서 다음 8가지 조건을 만족시키는 두 연산(합,스칼라곱)을 가지는 집합 $V$
  - 합 sum $x,y\in V\,\,에 \,\,$대하여 유일한 원소 $x+y \in V$ 를 대응시키는 연산
  - 스칼라곱 scalar multiplication $a \in F,\,x\in V$ 에 대해 유일한 원소 $\,\,ax \in V$를 대응시키는 연산
• 조건
  1. 덧셈의 교환법칙 | 모든 $x,y \in V$에 대해 $x+y=y+x$ 이다
  2. 덧셈의 결합법칙 | 모든 $x,y,z \in V$에 대해 $(x+y)+z=x+(y+z)$
  3. 덧셈의 항등원 존재 | 모든 $x \in V$에 대해 $x+0=x$인 $0 \in V$가 존재
  4. 덧셈의 역원 존재 | 모든 $x\in V$에 대해 $x+y=0$인 $y \in V$가 존재
  5. 스칼라곱 항등원 | 모든 $x \in V$에 대해 $1x=x$이다
  6. 조건 6 | 모든 $a,b\in F$와 모든 $x \in V$에 대해 $(ab)x=a(bx)$이다
  7. 조건 7 | 모든 $a\in F$와 모든 $x,y \in V$에 대해 $a(x+y)=ax+ay$이다
  8. 조건 8 | 모든 $a,b \in F$와 모든$x \in V$에 대해 $(a+b)x=ax+bx$이다

1-1. 용어

• 체 $F$: 덧셈/뺄셈/나눗셈/곱셈의 사칙연산을 집합안에서 소화할 수 있는 집합
  - 예: 유리수체/ 실수체/ 복소수체
• 벡터: 벡터공간 $V$의 원소
• 튜플: 체의 원소를 순서대로 1차원으로 나열한 묶음
  - 표기: $(x_1,x_2,...,x_n),\,\,where\,\,x_1,x_2,...,x_n\in F$
  - $n-tuple$이라 칭한다
• 행렬: 체의 원소를 순서대로 2차원으로 나열한 묶음
  - 표기: $\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12}&...&&&a_{1n} \\a_{21} &a_{22} & ... &&&a_{2n}\\ ... \\ \\ a_{m1} & a_{m2} & ... &&& a_{mn} \end{pmatrix}$
  - $m\,\times n$행렬이라 칭한다

2. 부분공간 $subspace$란?

• 벡터공간 $V$의 부분집합 $W$가 다음의 조건을 만족시킬 때 부분공간이라 부른다
  - 조건
  1. $0 \in W$
  2. 덧셈에 닫힘 | 모든 $x,y \in W$에 대해 $x+y \in W$
  3. 스칼라곱에 닫힘 | 모든 $c \in F$, 모든 $x \in W$에 대해 $cx \in W$
  ( 덧셈의 역벡터도 $W$의 원소이여야 하는 것이 조건이지만, 이는 조건 3에 의해 충족된다)

3. 기저$basis$의 두 조건

• 벡터공간 $V$의 부분집합 $\beta$이 있다고 하자 다음의 조건을 충족시킬 때 $\beta$를 $V$의 기저라 한다
  - $span(\beta)=V$
  - $\beta$가 일차독립이다

3-1 생성공간 $span$

• 벡터공간 $V$의 공집합 아닌 부분집합 $S$가 있을 때 $S$의 생성공간은 $S$의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이라 정의한다
  - $span(S)$라 표기한다
  - $span(\oslash)= \{0\}$라 정의한다( 편의를 위해)
  - $span(S)=V$ 이면 $S$는 $V$를 생성$generate$한다고 한다

3-2 일차독립 $linearly\,\,independent$

• 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대해 $\sum_{j=1}^{n}a_jx_j=0$ 을 만족시키는서로 다른 벡터 $x_j \in S$와 $a_j \in F$가 있을 때 이중 하나라도 $0$이 아닌 값이 스칼라 $a_1,a_2,...,a_n$중에 있다면 일차 종속이라 하고 아니면 일차 독립이라 한다
  - $a_1,a_2,...,a_n=0$ 을 영벡터의 자명한 표현 $trivial\,\,representation\,\,of\,\,0$라 한다
  - 정리
  - $S_1\subseteq S_2\subseteq V$ 일때 $S_1$이 일차종속이면 $S_2$도 일차종속이다
  - $S_1\subseteq S_2\subseteq V$일때 $S_2$가 일차독립이면 $S_1$도 일차독립이다

3-3. 대체정리 $replacement\,\,theorem$

• 조건
  - $m$개의 벡터로 이루어진 집합 $G$가 있다고 하자
  - $span(G)=V$
  - $n$개의 벡터로 이루어진 일차독립집합 $L \subseteq V$
• 결과
  - $n \le m$
  - 다음과 같은 $H \subseteq G$ 가 존재한다
  - $m-n$개의 벡터로 이루어져 있다
  - $span(L\cup H)=V$
• 따름정리
  - $V$가 $n$차원 벡터공간이라 하자
  - $G\subseteq V,span(G)=V$ 인 $G$는 반드시 $n$개 이상의 벡터를 가지고 있다
  - 일차독립이고 $n$개의 벡터로 이루어진 $G \subseteq V$는 $V$의 기저이다
  - 일차독립의 부분집합을 확장시켜 기저를 만들 수 있다
  - 부분공간 $W \subseteq V$가 있을 때 $dim(W)=dim(V)$면 $V=W$다