선형대수 3-2.역행렬/연립방정식 계산

milkbuttercheese·2023년 1월 14일
선형대수
0

AI를 위한 선형대수

목록 보기
5/14

3-2. 역행렬/연립방정식 계산

2-4. 역행렬 계산- 가우스 조르당 소거법Gauss  Jordan  eliminationGauss\,\,Jordan\,\,elimination

첨가 행렬augumented  matrixaugumented\,\,matrix

  • 조건
    • m×nm \times n 행렬 A\boldsymbol{A} 와 m×pm \times p 행렬 B\boldsymbol{B} 가 있다고 하자
  • 정의
    - (A∣B)(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{B}) 는 m×(n+p)m\times(n+p) 의 꼴로 처음 nn개 열은 행렬 A\boldsymbol{A}의 열이고 그 다음 pp개의 열은 행렬 B\boldsymbol{B}의 열로 이루어진 행렬이다

가우스 조르당 소거법

  • 조건
    • n×nn\times n 행렬 A\boldsymbol{A}가 있다고 하자
  • 정리
    - 만약 A\boldsymbol{A}가 가역행렬이라면 (A∣In)(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{I}_n)에 기본행연산을 유한번 적용하여 (In∣A−1)(\boldsymbol{I}_n|\boldsymbol{A}^{-1})로 변형시킬 수 있다
    - 만약 A\boldsymbol{A}가 가역행렬이 아니라면 (A∣In)(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{I}_n)에 기본행연산을 유한번 적용하면 처음 nn개 성분이 모두 0인 행인 행렬을 얻게 된다

3. 연립일차방정식 계산

  • 용어
    - 조건
    • m×nm\times n 행렬 A\boldsymbol{A} 가 있고, 변수인 x∈Fnx\in F^n이 있고, 상수인 b∈Fmb\in F^m 이 있다고 하자
    • Ax=b\boldsymbol{A}x=b 의 관계식이 성립한다고 하자
  • 정의
    - A\boldsymbol{A}를 연립일차방정식의 계수행렬 coefficient  matrixcoefficient \,\,matrix 라 부른다
    - 관계식을 만족시키는 x∈Fnx \in F^n을 연립일차방정식의 해 solutionsolution이라고 한다
    - 관계식을 만족시키는 모든 x∈Fnx \in F^n 해들의 집합을 해집합solution  setsolution\,\,set이라 한다
    - 해집합이 공집합이면 해가 존재하지 않는다 또는 모순이 있다 inconsistentinconsistent라 표현한다
    - 해집합이 공집합이 아니면 해가 존재한다 또는 모순이 없다 consistentconsistent라 표현한다
    - b=0b=0 일때 동차homogeneoushomogeneous , b≠0b\ne 0 일때 비동차nonhomogeneousnonhomogeneous라 한다

이에 따라오는 성질 1

  • 조건
    - 연립일차방정식이 동차 Ax=0\boldsymbol{A}x=0 이라고 하자
  • 정리
    - 해집합은 정의상 N(LA)N(L_A)와 같다
    - 그러므로 해집합의 차원은 n−rank(A)n-rank(\boldsymbol{A})이다

이에 따라오는 성질 2

  • 조건
    - 연립일차방정식이 비동차 Ax=b\boldsymbol{A}x=b라고 하자
    - 이에 대응되는 임의의 해 ss가 존재한다고 하자
    - Ax=b\boldsymbol{A}x=b 의 해집합을 KK라 표현하기로 하자
  • 정리
    - K={s}+N(LA)K=\{s\}+N(L_A)
  • 증명
    - 조건
    • 또다른 Ax=b\boldsymbol{A}x=b 의 해를 ww 라 하자
    • 결과
      - A(w−s)=b−b=0\boldsymbol{A}(w-s)=b-b=0, w−s∈N(LA)w-s \in N(L_A)
      - 즉 k=w−sk=w-s 인 k∈N(LA)k \in N(L_A) 가 존재한다
      - 그렇게 되면 w∈{s}+N(LA)w \in \{s\}+N(L_A)로 볼 수 있으므로 K⊆{s}+N(LA)K \subseteq \{s\}+N(L_A) 이다
      - 역의 경우를 증명하자. 적당한 k∈N(LA)k\in N(L_A)가 있어 w=s+kw=s+k라 하자
      - Aw=A(s+k)=As+Ak=b\boldsymbol{A}w=\boldsymbol{A}(s+k)=\boldsymbol{A}s+\boldsymbol{A}k=b
      - w∈K,{s}+N(LA)⊆Kw\in K, \{s\}+N(L_A) \subseteq K
      - K={s}+N(LA)K=\{s\}+N(L_A)

이에 따라오는 성질3

  • 조건
    - 행렬 A\boldsymbol{A}가 가역이라고 하자
  • 결과
    - 연립방정식은 유일한 해 A−1b\boldsymbol{A}^{-1}b가 존재한다. 또한 역으로 해가 유일하면 행렬 A\boldsymbol{A}는 가역이다

이에 따라오는 성질 4

  • 결과
    - 연립방정식 Ax=b\boldsymbol{A}x=b에 모순이 없기 위한 필요충분조건은 rank(A)=rank(A∣b)rank(\boldsymbol{A})=rank(\boldsymbol{A}|b)다
  • 증명
    - Ax=b\boldsymbol{A}x=b가 해가 존재한다는 것은 b∈R(LA)b\in R(L_A)임과 동치이다.
    - R(LA)=span({col1(A),col2(A),...,coln(A)})R(L_A)=span(\{col_1(\boldsymbol{A}),col_2(\boldsymbol{A}),...,col_n(\boldsymbol{A})\})
    - b∈span({col1(A),col2(A),...,coln(A)})b\in span(\{col_1(\boldsymbol{A}),col_2(\boldsymbol{A}),...,col_n(\boldsymbol{A})\}) 이는 다음과 동치가 된다
    - span({col1(A),col2(A),...,coln(A)})=span({col1(A),col2(A),...,coln(A),b})span(\{col_1(\boldsymbol{A}),col_2(\boldsymbol{A}),...,col_n(\boldsymbol{A})\})=span(\{col_1(\boldsymbol{A}),col_2(\boldsymbol{A}),...,col_n(\boldsymbol{A}),b\})
    - dim(span({col1(A),col2(A),...,coln(A)}))=dim(span({col1(A),col2(A),...,coln(A),b}))dim(span(\{col_1(\boldsymbol{A}),col_2(\boldsymbol{A}),...,col_n(\boldsymbol{A})\}))=dim(span(\{col_1(\boldsymbol{A}),col_2(\boldsymbol{A}),...,col_n(\boldsymbol{A}),b\}))
    - rank(A)=rank(A∣b)rank(\boldsymbol{A})=rank(\boldsymbol{A}|b)

3-2 연립방정식 계산: 가우스 소거법의 이론적 뒷받침

  • 기본행렬 elementary  matrixelementary\,\,matrix
    - 항등행렬에 기본연산을 적용시켜 얻은 행렬
    - 그중에서도 1 형/2 형/3 형 연산을 하여 얻은 행렬을 각각 1형/2형/3형이라 한다
    - 1 형: 행렬의 두 행을 교환하는 것
    - 2 형: 행렬의 한 행에 영이 아닌 스칼라를 곱하는 것
    - 3 형: 행렬의 한 행에 다른 행의 스칼라배를 더하거나 빼는 것

이에 따라오는 성질 1

  • 조건
    • A∈Mm×n(F)\boldsymbol{A}\in \boldsymbol{M}_{m\times n}(F) 이고, 기본 행연산을 하여 B\boldsymbol{B}를 얻었다 하자
  • 정리
    - B=EA\boldsymbol{B}=\boldsymbol{EA}를 만족시키는 기본행렬 E\boldsymbol{E}가 있고 이는 A\boldsymbol{A}에서 B\boldsymbol{B}로 변형시킬때의 행연산을 항등행렬을 가했을 때에 생성되는 행렬이다

이에 따라오는 성질 2

  • 기본행렬은 가역이다. 그 역행렬은 같은 종류의 기본행렬이다

이에 따라오는 성질 3

  • 조건
    - m×nm\times n 행렬 A\boldsymbol{A} 가 있고 ,x∈Fnx\in F^n 변수가 있고, b∈Fnb \in F^n 상수가 있어 연립방정식 Ax=b\boldsymbol{A}x=b를 이룬다고 하자
    - m×mm\times m 가역행렬 C\boldsymbol{C} 가 존재한다고 하자
  • 정리
    - 두 연립일차방정식은 동치이다( 같은 해집합을 갖는다)
    - Ax=b,   (CA)x=Cb\boldsymbol{A}x=b,\,\,\,(\boldsymbol{CA})x=\boldsymbol{C}b
  • 증명
    - Ax=b\boldsymbol{A}x=b의 해집합을 KK, (CA)x=Cb(\boldsymbol{CA})x=\boldsymbol{C}b의 해집합을 K′K'이라 하자
    - w∈Kw\in K이면 Aw=b   (CA)w=Cb\boldsymbol{A}w=b\,\,\,(\boldsymbol{CA})w=\boldsymbol{C}b 그러므로 w∈K′w \in K'
    - K⊆K′K\subseteq K'
    - 역으로 w∈K′w\in K'이면 (CA)w=Cb   ,C−1(CA)w=C−1Cb(\boldsymbol{CA})w=\boldsymbol{C}b\,\,\, ,\boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{CA})w=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{C}b
    - Aw=b\boldsymbol{A}w=b 그러므로 w∈Kw \in K
    - K′⊆KK' \subseteq K
    - K=K′K=K'
profile
milkbuttercheese
안녕하세요!
이전 포스트

선형대수 3.기본행연산

다음 포스트

선형대수 4. 행렬식

0개의 댓글