선형대수 4. 행렬식

milkbuttercheese·2023년 1월 14일
선형대수
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AI를 위한 선형대수

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1. 행렬식은 어떻게 정의하는가?

  • 행렬식은 정사각행렬을 정의역으로 하고 스칼라를 함수값으로 하는 특별한 함수이다
  • 2×22\times2 행렬의 행렬식을 정의하고, nn차 정사각행렬을 정의한다음 정의에 의해 따라오는 성질과, 더 일반화된 정의를 살펴본다

1-1. 행렬식의 기초 정의

2×22\times 2 행렬식

  • 조건
    • 2×22\times 2 행렬 A=(abcd)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}이 있다고 하자
  • 정의
    - det(A)=ad−bc  (or  notate  ∣A∣)det(\boldsymbol{A})=ad-bc \,\,(or\,\,notate\,\,|\boldsymbol{A}|)

n×nn\times n 행렬식

  • 조건
    - n×nn\times n 행렬 det(A)det(\boldsymbol{A)}가 있다고 하자
    - A~ij\tilde{\boldsymbol{A}}_{ij} 는 A\boldsymbol{A}의 ii행과 jj열을 지워 얻은 행렬이라 정의한다
  • 정의
    - det(A)=det(\boldsymbol{A})=
    - A11A_{11} (if  n=1)(if\,\,n=1)
    - ∑j=1n(−1)1+jA1jdet(A~ij)\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}A_{1j}det(\tilde{\boldsymbol{A}}_{ij}) (if n≥2)       (if\,n \ge2) \,\,\,\,\,\,\,

1-2. 행렬식 정의에 따라오는 성질

각 행에 대한 선형성

  • 조건
    - A∈Mn×n(F)\boldsymbol{A}\in\boldsymbol{M}_{n\times n}(F) 이고 aja_j 는 행렬 A\boldsymbol{A}의 jj번째 행이라고 하자.
    - u,v∈Fnu,v \in F^n 이고 k∈Fk\in F 라고 하자
    - ar=u+kva_r=u+k v라 하자
  • 정리
    - det(a1a2...ar−1u+kvar+1...an)=det(a1a2...ar−1uar+1...an)+k⋅det(a1a2...ar−1var+1...an)det\begin{pmatrix}a_{1}\\a_2\\...\\a_{r-1}\\u+kv\\a_{r+1}\\... \\a_n \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix}a_{1}\\a_2\\...\\a_{r-1}\\u\\a_{r+1}\\... \\a_n \end{pmatrix}+k\cdot det\begin{pmatrix}a_{1}\\a_2\\...\\a_{r-1}\\v\\a_{r+1}\\... \\a_n \end{pmatrix}

증명

  • A\boldsymbol{A}의 rr행을 각각 u,vu,v로 바꾼 행렬을 각각 B,C\boldsymbol{B,C}라 하자
  • nn에 대한 수학적 귀납법으로 증명한다
    - n=1n=1이면 당연히 참이다
    - n≥2n \ge2일때 (n−1)×(n−1)(n-1)\times(n-1) 행렬의 행렬식이 다른 행이 고정되어 있을 때 각 행에 대하여 선형함수라 가정하자
  • r=1r=1 인 경우
    - det(A)=∑j=1n(−1)1+jA1j⋅det(A~1j)det(\boldsymbol{A})=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}A_{1j}\cdot det(\tilde{\boldsymbol{A}}_{1j})
    - =∑j=1n(−1)1+j(uj+k⋅vj)⋅det(A~1j)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}(u_j+k\cdot v_j)\cdot det(\tilde{\boldsymbol{A}}_{1j})
    - =∑j=1n(−1)1+juj⋅det(A~1j)+k⋅∑j=1n(−1)1+jvj⋅det(A~1j)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}u_j\cdot det(\tilde{\boldsymbol{A}}_{1j})+k\cdot\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} v_j\cdot det(\tilde{\boldsymbol{A}}_{1j})
    - =det(B)+k⋅det(C)= det(\boldsymbol{B})+k\cdot det(\boldsymbol{C})
  • r>1r>1의 경우
    - A~1j,B~1j,C~1j\tilde{\boldsymbol{A}}_{1j},\tilde{\boldsymbol{B}}_{1j},\tilde{\boldsymbol{C}}_{1j}는 r−1r-1행을 제외한 나머지 행이 모두 같다
    - colr−1(A~1j)=(b1+kc1,...,bj−1+kcj−1,bj+1+kcj+1,...,bn+kcn)col_{r-1}(\tilde{\boldsymbol{A}}_{1j})=(b_1+kc_1,...,b_{j-1}+kc_{j-1},b_{j+1}+kc_{j+1},...,b_n+kc_n)
    - 이는 B~1j\tilde{\boldsymbol{B}}_{1j}의 r−1r-1행과 C~1j\tilde{\boldsymbol{C}}_{1j}의 r−1r-1행의 kk배의 합과 같다 수학적 귀납법 가정에 따라
    - det(A~1j)=det(B~1j)+k⋅det(C~1j)det(\tilde{\boldsymbol{A}}_{1j})=det(\tilde{\boldsymbol{B}}_{1j})+k\cdot det(\tilde{\boldsymbol{C}}_{1j})
    - 이것을 기존의 행렬식에 대입하면
    - det(A)=∑j=1n(−1)1+jA1j⋅det(A~1j)det(\boldsymbol{A})=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}A_{1j}\cdot det(\tilde{\boldsymbol{A}}_{1j})
    - det(A)=∑j=1n(−1)1+jA1j⋅[det(B~1j)+k⋅det(C~1j)]det(\boldsymbol{A})=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}A_{1j}\cdot [det(\tilde{\boldsymbol{B}}_{1j})+k\cdot det(\tilde{\boldsymbol{C}}_{1j})]
    - A1j=B1j=C1jA_{1j}=B_{1j}=C_{1j} 이므로
    - det(A)=det(B)+k⋅det(C)det(\boldsymbol{A})=det(\boldsymbol{B})+k\cdot det(\boldsymbol{C})

일반화된 행렬식의 정의

  • 조건
    - n×nn\times n 행렬 det(A)det(\boldsymbol{A)}가 있다고 하자
    - A~ij\tilde{\boldsymbol{A}}_{ij} 는 A\boldsymbol{A}의 ii행과 jj열을 지워 얻은 행렬이라 정의한다
  • 정의
    - det(A)=∑j=1n(−1)i+jAij⋅det(A~ij)det(\boldsymbol{A})=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}\cdot det(\tilde{\boldsymbol{A}}_{ij})

유도( 기존 행렬식의 정의로부터)

  • 보조정리 1.
    • n≥2n \ge2 인 행렬 B∈Mn×n(F)\boldsymbol{B} \in \boldsymbol{M}_{n\times n}(F) 가 있다고 하자. 그 행렬의 ii번째 행이 eke_k라고 하자
      - det(B)=(−1)i+kdet(B~ik)det(\boldsymbol{B})=(-1)^{i+k}det(\tilde{\boldsymbol{B}}_{ik}) 이다
  • 조건
    - A\boldsymbol{A}의 ii행을 eje_j로 대체한 행렬을 Bj\boldsymbol{B}_j라고 하자
    - i=1i=1 일때: 기존의 정의와 같다
    - i>1i >1 일때
    - det(A)=∑j=1nAijdet(B)=∑j=1n(−1)i+jAij⋅det(A~ij)det(\boldsymbol{A})=\sum_{j=1}^{n}A_{ij}det(\boldsymbol{B})=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}\cdot det(\tilde{\boldsymbol{A}}_{ij})
  • 이에 따라오는 성질
    - A∈Mn×n(F)\boldsymbol{A}\in \boldsymbol{M}_{n\times n}(F)의 두 행이 같으면 det(A)=0det(\boldsymbol{A})=0이다
    - 수학적 귀납법에 의해 2×22\times 2 부터 시작하여 증명됨. 생략

1-3 행렬식에서의 기본행연산

  • A∈Mn×n(F)\boldsymbol{A}\in \boldsymbol{M}_{n\times n}(F) 에서 두 행을 교환하여 얻은 행렬을 B\boldsymbol{B}라 한다면 det(B)=−det(A)det(\boldsymbol{B})=-det(\boldsymbol{A})다
  • A∈Mn×n(F)\boldsymbol{A}\in \boldsymbol{M}_{n\times n}(F) 에서 한 행에 스칼라 kk를 곱하여 얻은 행렬이 B\boldsymbol{B}라 한다면 det(B)=−det(A)det(\boldsymbol{B})=-det(\boldsymbol{A})다
  • A∈Mn×n(F)\boldsymbol{A}\in \boldsymbol{M}_{n\times n}(F) 에서한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 행렬을 B\boldsymbol{B}라 한다면 det(B)=det(A)det(\boldsymbol{B})=det(\boldsymbol{A})다

2. 행렬식의 성질

행렬곱의 행렬식

  • 임의의 A,B∈Mn×n(F)\boldsymbol{A,B}\in \boldsymbol{M}_{n\times n}(F) 에 대하여 det(AB)=det(A)⋅det(B)det(\boldsymbol{AB})=det(\boldsymbol{A})\cdot det(\boldsymbol{B}) 이다
  • 증명
    - rank(A)<nrank(\boldsymbol{A})<n 이면
    - rank(AB)<rank(A)<n,   det(A)=det(AB)=0rank(\boldsymbol{AB})<rank(\boldsymbol{A})<n,\,\,\,det(\boldsymbol{A})=det(\boldsymbol{AB})=0
    - rank(A)=nrank(\boldsymbol{A})=n 이면
    - A\boldsymbol{A}는 가역행렬이고, 가역행렬은 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다.
    - 기본행렬을 Ej\boldsymbol{E}_j라 표기하고 A=Em⋯E2⋅E1\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}_m\cdots\boldsymbol{E}_2\cdot\boldsymbol{E}_1 이라 표현하자
    - 기본행렬을 기본행연산으로 취급하고 1-3에서의 결과를 적용하자
    - det(AB)=det(Em⋯E2E1B)=det(Em)det(Em−1⋯E2E1B)=...det(\boldsymbol{AB})=det(\boldsymbol{E}_m\cdots\boldsymbol{E}_2\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{B})=det(\boldsymbol{E}_m)det(\boldsymbol{E}_{m-1}\cdots\boldsymbol{E}_2\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{B})=...
    - det(AB)=det(Em)⋯det(E2)det(E1)det(B)det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=det(\boldsymbol{E}_m)\cdots det(\boldsymbol{E}_2)det(\boldsymbol{E}_1)det(\boldsymbol{B})
    - det(AB)=det(A)det(B)det(\boldsymbol{AB})=det(\boldsymbol{A})det(\boldsymbol{B})

전치행렬의 행렬식

  • 임의의 A∈Mn×n(F)\boldsymbol{A}\in \boldsymbol{M}_{n\times n}(F)에 대해 det(At)=det(A)det(\boldsymbol{A}^t)=det(\boldsymbol{A}) 다
  • 증명
    - rank(A)<nrank(\boldsymbol{A})<n 이면
    - rank(At)=rank(A)<nrank(\boldsymbol{A}^t)=rank(\boldsymbol{A})<n, det(A)=det(At)=0det(\boldsymbol{A})=det(\boldsymbol{A}^t)=0
    - rank(A)=nrank(\boldsymbol{A})=n 이면
    - A\boldsymbol{A}는 가역행렬이고, 가역행렬은 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다.
    - 기본행렬을 Ej\boldsymbol{E}_j라 표기하고 A=Em⋯E2⋅E1\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}_m\cdots\boldsymbol{E}_2\cdot\boldsymbol{E}_1 이라 표현하자
    - 기본행렬을 기본행연산으로 취급하고 1-3에서의 결과를 적용하자
    - det(A)=det(Em⋯E2E1)=det(Em)det(Em−1⋯E2E1)=...det(\boldsymbol{A})=det(\boldsymbol{E}_m\cdots\boldsymbol{E}_2\boldsymbol{E}_1)=det(\boldsymbol{E}_m)det(\boldsymbol{E}_{m-1}\cdots\boldsymbol{E}_2\boldsymbol{E}_1)=...
    - det(A)=det(Em)⋯det(E2)det(E1)det(\boldsymbol{A})=det(\boldsymbol{E}_m)\cdots det(\boldsymbol{E}_2)det(\boldsymbol{E}_1)
    - det(A)=det(Emt)⋯det(E2t)det(E1t)=det(At)det(\boldsymbol{A})=det(\boldsymbol{E}_m^t)\cdots det(\boldsymbol{E}_2^t)det(\boldsymbol{E}_1^t)=det(\boldsymbol{A}^t)
  • 수반행렬의 행렬식
    - 임의의 A∈Mn×n(F)\boldsymbol{A}\in \boldsymbol{M}_{n\times n}(F)에 대해 det(A∗)=det(A)‾det(\boldsymbol{A}^*)=\overline{det(\boldsymbol{A})}
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