6-3. 정규/ 자기수반연산자- 유니타리/직교 연산자

4. 왜 정규연산자와 자기수반연산자란 개념이 중요할까?

• 선형연산자가 대각화 가능한지 판별할 수 있기 때문이다
  • 유한차원 복소내적공간 $V$와 $V$의 선형연산자 $T$가 있다하자. 다음의 두 명제는 동치이다
    - $T$는 정규연산자이다
    - $T$는 대각화가능하다
  • 유한차원 실내적공간 $V$와 $V$의 선형연산자 $T$가 있다하자. 다음 두 명제는 동치이다
    - $T$는 자기수반연산자이다
    - $T$는 대각화가능하다

4-1. 그래서 정규연산자와 자기수반연산자의 정의는 무엇인가?

• 조건
  - 내적공간 $V$와 선형연산자 $T$가 있다고 하자

정규연산자 $normal\,\,operator$

• 정의
  - $TT^*=T^*T$인 선형연산자 $T$를 정규연산자라고 부른다

자기수반연산자 $self-adjoint$ / 에르미트 연산자 $hermitian$

• 정의
  • $T=T^*$ 인 선형연산자 $T$를 자기수반연산자라고 부른다

이에 따라오는 정규연산자 성질

• 조건
  - 내적공간 $V$와 정규연산자 $T$가 있다 하자
  - 임의의 벡터 $x\in V$ 임의의 스칼라 $c\in F$ 가 있다하자
  - $T(v)=\lambda v$를 만족시키는 고유값 $\lambda$와 고유벡터 $v$가 있다하자
  - $T(v_1)=\lambda_1v_1, T(v_2)=\lambda_2v_2$를 만족시키는 $v_1,v_2,\lambda_1,\lambda_2$가 있다하자
• 정리
  - $\|T(x)\|=\|T^*(x)\|$ 이다
  - $T-cI$는 정규연산자이다 $(T-cI)(T-cI)^*=(T-cI)^*(T-cI)$
  - $T^*(v)=\bar{\lambda}(v)$가 성립하여 고유벡터 $v$ 는 고유값 $\bar{\lambda}$에 대응하는 $T^*$의 고유벡터이기도 하다
  - $\lambda_1 \ne \lambda_2$ 이면 $v_1$과 $v_2$는 직교한다
• 증명
  - $\langle T(x),T(x) \rangle =\langle x, T^* T(x) \rangle= \langle x,TT^*(x) \rangle =\langle T^*(x), T^*(x) \rangle$
  - $(T-cI)(T-cI)^*=(T-cI)(T^*-\bar{c}I)=(TT^*-\bar{c}T-cT^*+c\bar{c})$
  - $(T-cI)^*(T-cI)=(T^*-\bar{c}I)(T-cI)=(T^*T-cT^*-\bar{c}T+c\bar{c}I)$
  - $TT^*=T^*T$ 이므로 $(T-cI)(T-cI)^*=(T-cI)^*(T-cI)$
  - $0=\langle (T-\lambda I)(v),(T-\lambda I)(v) \rangle=\langle (T-\lambda I)^*(v),(T-\lambda I)^*(v) \rangle$
  - $(T^*-\bar{\lambda}I)(v)=0$
  - $\langle T(v_1),v_2 \rangle= \lambda_1 \langle v_1,v_2 \rangle = \langle v_1,T^*(v_2) \rangle = \langle v_1,\bar{\lambda_2}v_2 \rangle= \lambda_2 \langle v_1,v_2 \rangle$
  - $(\lambda_1 - \lambda_2) \langle v_1,v_2 \rangle=0$
  - $\lambda_1 \ne \lambda_2$ 라면 $\langle v_1, v_2 \rangle$ 이 0 → 직교

이에 따라오는 자기수반연산자 성질

• 정리
  - 자기수반연산자 $T$의 모든 고유값은 실수이다
• 증명
  - $T(v)=\lambda v$를 만족시키는 고유벡터 $v$와 고유값 $\lambda$가 존재한다고 하자
  - $\langle T(v),v \rangle=\lambda \langle v,v \rangle=\langle v,T^*(v) \rangle = \langle v,T(v) \rangle= \bar{\lambda}\langle v,v \rangle$
  - $(\lambda-\bar{\lambda})\langle v,v \rangle =0$
  - 고유벡터는 정의상 $non-zero$ 벡터이므로 $\lambda= \bar{\lambda}$

5. 유니타리/직교 연산자의 정의

• 유니타리/직교 연산자는 길이를 보존하는 연산자다
• 조건
  - 유한차원 $F$- 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$가 있다 하자
• 정의
  - $F=C$ 일 때 모든 $x \in V$에 대해 $\|T(x)\|=\|x\|$인 연산자 $T$를 유니타리 연산자$unitary \,\,operator$라고 정의한다
  - $F =R$ 일 때 모든 $x \in V$ 에 대해 $\|T(x)\|=\|x\|$인 연산자 $T$를 직교 연산자$orthogonal \,\,operator$라고 정의한다

이에 따라오는 성질

• $TT^*=T^*T=I$
• 모든 $x,y\in V$에 대해 $\langle T(x),T(y) \rangle = \langle x,y \rangle$이다
• $V$의 정규직교기저 $\beta$에 대해 $T(\beta)$도 정규직교기저이다
• 증명
  • 보조정리를 먼저 증명하자
    - 내적공간 $V$의 자기수반연산자 $U$가 있다하자. 모든 $x \in V$에 대해 $\langle x,U(x) \rangle=0$ 이면 $U=T_0$이다
    - $\langle x+U(x),U(x+U(x)) \rangle= \langle x+U(x),U(x)+U^2(x) \rangle=$
    - $\langle x,U(x) \rangle +\langle x,U^2(x) \rangle + \langle U(x),U(x) \rangle + \langle U(x),U^2(x) \rangle$
    - $=0+\langle x,U^2(x) \rangle +\|U(x)\|^2 +0= \langle x,U^*U(x) \rangle + \langle x, U^2(x) \rangle=2\|U(x)\|^2=0$
    - $for \,\,all\,\,x\in V\,\,\|U(x)\|=0$ 이므로 $U=T_0$
    - $0\rightarrow 1|$ $\langle T(x),T(x) \rangle= \langle x,T^*T(x) \rangle= \langle x,x \rangle, \,\, \langle x,(T^*T-I)(x)\rangle=0$
• 보조정리에 의해 $T^*T-I=T_0$
  - $1\rightarrow2|$ $\langle T(x),T(y) \rangle = \langle x, T^*T(y) \rangle = \langle x,y \rangle$
  - $2\rightarrow 3|$ $V$의 정규직교기저를 $\beta=\{v_1,v_2,...,v_n\}$이라고 하자. $T(\beta)=\{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\}$이다. $\langle T(v_j),T(v_k) \rangle = \langle v_j,T^* T(v_k) \rangle= \langle v_j,v_k \rangle =\delta_{jk}$ 이다
  - $3\rightarrow 0|$$V$의 정규직교기저 $\beta=\{v_1,v_2,...,v_n\}$이라고 하자. $x=\sum_{i=1}^{n}a_iv_i$로 적당한 스칼라 $a_i$ 가 있다하자
  - $\|x\|^2=\langle x,x\rangle= \langle \sum_{i=1}^{n}a_iv_i,\sum_{j=1}^{n}a_jv_j \rangle=\sum_{i,j}a_i \bar{a_j} \langle v_i,v_j \rangle=\sum_{i} \|a_i\|^2$
  - $\|T(x)\|^2=\langle T(x),T(x)\|=\langle \sum_{i=1}^{n} a_i T(v_i),\sum_{j=1}^{n}a_jT(v_j) \rangle=\sum_{i,j}a_i\bar{a_j}\langle T(v_i),T(v_j) \rangle= \sum_{ij}a_j\bar{a_j}\delta_{ij}=\sum_i \|a_i\|^2$

5-2 용어들: 대칭과 회전

대칭 $relfection$

• 조건
  - $\boldsymbol{R}^2$의 1차원 부분공간 $\boldsymbol{L}$이 있다고 하자.
  - $\boldsymbol{L}$는 평면을 지나는 직선이다
• 정의
  - 모든 $x \in \boldsymbol{L}$에 대해 $T(x)=x$이고 $x \in \boldsymbol{L}^\bot$에 대해 $T(x)=-x$로 정의된 선형연산자 $T$를 $\boldsymbol{L}$에 대한 $\boldsymbol{R}^2$의 대칭변환이라 정의한다

회전 $rotation$

• 조건
  - $\boldsymbol{R}^2$평면이 있고, $\boldsymbol{R}^2$에 수직인 축이 있다 하자
• 정의
  - $\boldsymbol{R}^2$의 수직인 축을 중심으로 $\theta$ 만큼 회전시키는 변환으로 길이를 보전한다
  - $\boldsymbol T=\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$

5-3. 원뿔곡선과 대각화

• 원뿔곡선의 정의
  - $ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
  - $x,y$ 는 변수 $a,b,c,d,e$는 계수, $f$는 상수
  - 계수를 어떻게 선택하냐에 따라 타원/포물선/쌍곡선의 그래프가 된다
• 이차형식 $associated \,\,quadratic\,\,form$
  - $ax^2+2bxy+cy^2=d$
  - $\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} a & b\\b&c\end{pmatrix}$ $x=\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$ 로 두었을 때
  - $x^t\boldsymbol{A}x=d$ 꼴로 표현 가능한 함수
• 대각화의 기능
  - 행렬 $\boldsymbol{A}$ 를 대각화한 좌표계에서 바라본다면 혼합항($x,y$가 동시에 곱해진 항)이 사라진다

대각화 방법

• 조건
  - 선형변환 $L_A =T$ 로 표기하자
  - $F^n$의 표준직교기저를 $\beta$ , $T$의 고유벡터로 이루어진 직교기저를 $\gamma$라고 하자
• 정리
  - $([x]_\beta)^t[T]_\beta[x]_\beta =d$
  - $([x]_\beta)^t [I]_{\gamma}^{\beta}([I]_{\beta}^{\gamma}[T]_\beta[I]_{\gamma}^{\beta})[I]_{\beta}^{\gamma}[x]_\beta=d$
  - $([I]_{\beta}^{\gamma}[x]_\beta)^t([I]_{\beta}^{\gamma}[T]_\beta[I]_{\gamma}^{\beta})([I]_{\beta}^{\gamma}[x]_\beta)=d$
  - $(F=\boldsymbol{R}$ 이므로 $hermitian=transpose)$
  - $x'=[I]_{\gamma}^{\beta}[x]_\beta$ , $\boldsymbol{D}= [T]_\gamma=[I]_{\beta}^{\gamma}\boldsymbol{A}[I]_{\gamma}^{\beta}$ 로 정의하자
  - $x'y'$ 좌표계에선 혼합항이 사라지게 된다
• 계산 방법
  - 행렬 $\boldsymbol{A}$의 고유값 찾기 ⇒ 고유값이 행렬 $\boldsymbol{D}$의 대각성분이 된다
  - 고유값에 대응되는 고유벡터 찾기
  - 고유값 $\lambda_j$에 대응되는 고유벡터 $v_j$가 있다하자
  - $[I(v_j)]_\beta=[I]_{\gamma}^{\beta}[v_j]_\gamma= [v_j]_\beta$
  - $col_j([I]_{\gamma}^{\beta})=v_j$ 의 관계식을 활용하여 고유벡터로 이루어진 $[I]_{\gamma}^\beta$를 찾는다